Numero di soluzioni di equazione con parametro
Salve,
l'esercizio che voglio sottoporvi è il seguente:
Al variare del parametro $\lambda in RR$ determinare il numero di soluzioni dell'equazione:
$x^2+4x+6=\lambdae^x$
Io ho pensato di fare così ma vorrei sapere se questo procedimento è valido:
$x^2+4x+6=\lambdae^x = (x^2+4x+6)/e^x-\lambda=0$ perchè $e^x != 0 AA x in RR$
A questo punto considero esclusivamente il primo addendo e lascio da parte $\lambda$ poichè, se ho capito bene, in questo momento $\lambda$ sta a significare una traslazione verticale del grafico definito dalla funzione presente al primo addendo, in altre parole al variare di $\lambda$ bisogna calcolare quante volte la retta generica $y=\lambda$ interseca il grafico della funzione del primo addendo:
$(x^2+4x+6)/e^x=0$
Studio l'andamento del grafico:
1) calcolo i limiti all'infinito:
$\lim_{x \to +\infty}(x^2+4x+6)/e^x=0$ ovvero a destra ha un asintoto che corrisponde all'asse delle x
$\lim_{x \to -\infty}(x^2+4x+6)/e^x=+\infty$
2) studio gli intervalli di monotonia:
derivata: $-((x^2+2x+2)/e^x)$
la pongo maggiore uguale di 0: $-((x^2+2x+2)/e^x)>=0$ e scopro che è negativa in tutti i suoi punti, il che vuol dire che la funzione primitiva è strettamente decrescente.
Da questo evinco che il grafico è presente in tutto il semipiano superiore rispetto all'asse x ed è strettamente decrescente, il che vuol dire che per $\lambda>0$ l'equazione avrà una sola soluzione, mentre per $\lambda<=0$ non avrà soluzioni.
Il procedimento e le conclusioni sono giusti?
Grazie
l'esercizio che voglio sottoporvi è il seguente:
Al variare del parametro $\lambda in RR$ determinare il numero di soluzioni dell'equazione:
$x^2+4x+6=\lambdae^x$
Io ho pensato di fare così ma vorrei sapere se questo procedimento è valido:
$x^2+4x+6=\lambdae^x = (x^2+4x+6)/e^x-\lambda=0$ perchè $e^x != 0 AA x in RR$
A questo punto considero esclusivamente il primo addendo e lascio da parte $\lambda$ poichè, se ho capito bene, in questo momento $\lambda$ sta a significare una traslazione verticale del grafico definito dalla funzione presente al primo addendo, in altre parole al variare di $\lambda$ bisogna calcolare quante volte la retta generica $y=\lambda$ interseca il grafico della funzione del primo addendo:
$(x^2+4x+6)/e^x=0$
Studio l'andamento del grafico:
1) calcolo i limiti all'infinito:
$\lim_{x \to +\infty}(x^2+4x+6)/e^x=0$ ovvero a destra ha un asintoto che corrisponde all'asse delle x
$\lim_{x \to -\infty}(x^2+4x+6)/e^x=+\infty$
2) studio gli intervalli di monotonia:
derivata: $-((x^2+2x+2)/e^x)$
la pongo maggiore uguale di 0: $-((x^2+2x+2)/e^x)>=0$ e scopro che è negativa in tutti i suoi punti, il che vuol dire che la funzione primitiva è strettamente decrescente.
Da questo evinco che il grafico è presente in tutto il semipiano superiore rispetto all'asse x ed è strettamente decrescente, il che vuol dire che per $\lambda>0$ l'equazione avrà una sola soluzione, mentre per $\lambda<=0$ non avrà soluzioni.
Il procedimento e le conclusioni sono giusti?
Grazie
Risposte
Grazie mille. Non ero convinto del passaggio in cui "escludevo" la $\lambda$.
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