Numero di soluzione di un'equazione

[Pinturicchio10]

Buonasera, vi sottopongo questa problema che sto tentando di risolvere da un po'.
Quante soluzione ha l'equazione $x^{2021}=sinx$ ?
Ovviamente $0$ è soluzione ma non so se ve ne sono altre. Vi ringrazio in anticipo.

[ghira1]

Ce ne saranno almeno altre due, no?

Sospetto fortemente esattamente due.

[Mephlip]

@Albirz: Che strumenti conosci dai vari corsi di analisi? La risposta dipende un po' da cosa sai usare.

[Pinturicchio10]

Possiedo bene o male tutti gli strumenti di un corso di analisi. Ho cercato di attaccare il problema tramite anche gli o-piccoli, convessità, studio di derivate, ma non ho trovato una soluzione. Avevo provato a restringere lo studio per le x positive in quanto mi pare che trovata una soluzione non nulla, anche il valore opposto è una soluzione.

[ghira1]

Che ne dici di 0,999914571385746 ?

[Pinturicchio10]

Sembra un bel numero
Mi piacerebbe seguire un ragionamento formale che conti il numero di soluzioni, anche per poterlo così esportare a problemi simili (ad esempio se la potenza non fosse 2021).

[ingres]

Ovviamente basta studiare gli zeri della funzione continua e infinitamente derivabile

$f(x)=x^(2021)-sin(x)$

per x>0 in quanto la funzione è dispari (quindi anche -x sarebbe soluzione).

Una eventuale altra soluzione, se esiste, può essere solo per 00 per x>1.

Ora consideriamo

$(d^2f(x))/dx^2=2021*2020*x^(2019)+sin(x)$ Risulta $(d^2f(x))/dx^2>0$ per 0
Quindi in tale intervallo $(df(x))/dx=2021*x^(2020)-cos(x)$ è strettamente crescente e avrà esattamente uno zero (essendo negativa per x=0 e positiva per x=1) che quindi sarà un minimo.
A questo punto si conclude che la funzione partirà da zero, diminuirà fino al minimo (negativo) e da qui sarà crescente fino a x=1 dove assume un valore positivo. Pertanto ha in (0,1) un solo zero.

[Mephlip]

"Albirz":Avevo provato a restringere lo studio per le x positive in quanto mi pare che trovata una soluzione non nulla, anche il valore opposto è una soluzione.

Sì, questo è vero perché l'equazione è simmetrica per scambio di $x$ con $-x$.

Inoltre, per $x\ge 1$ non ci sono soluzioni perché $x^2021\ge x \ge 1$ notando che $\sin(1)<1$. Quindi, se esiste un'altra soluzione, è necessariamente nell'intervallo $]0,1[$. Si può dimostrare che $\lim_{x \to 0^+}(\sin x-x^2021)=0^+$, e questo dimostra il fatto intuitivo che, per $x$ piccoli e positivi, il seno sta sopra ad una potenza molto alta di $x$ se $x \in ]0,1[$. A questo concluderei con un argomento di monotonia: sia $x^{2021}$ che $\sin x$ sono continue e strettamente crescenti in $]0,\pi/2]$ e quindi, per il teorema dei valori intermedi, assumono ogni valore delle loro immagini in $]0,\pi/2]$ un'unica volta.

Edit: mi ha anticipato ingres

[Pinturicchio10]

Vi ringrazio entrambi per la risposta, che finalmente mi fa giungere alla soluzione del problema!
Mi permetto di fare una domanda a Memphlip: come dimostri che quel limite tende a 0 da valori positivi?

[Mephlip]

Prego! Dallo sviluppo di Taylor con resto di Lagrange del seno centrato in $x_0=0$ di ordine $3$, hai che per ogni $x \ge 0$ risulta:
$$\sin x \ge x-\frac{x^3}{6}$$
Perciò:
$$\sin x-x^{2021} \ge x-\frac{x^3}{6}-x^{2021}=x\left(1-\frac{x^2}{6}-x^{2020}\right)$$
Ma $-x^2/6-x^{2020} \to 0$ per $x \to 0^+$, dunque esiste un $\delta>0$ tale che $-x^2/6-x^{2020}> -1/2$ per ogni $0 $$x\left(1-\frac{x^2}{6}-x^{2020}\right)>\frac{x}{2}>0$$
per ogni $0

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[Pinturicchio10]

Fantastico! Grazie mille!!

[Pinturicchio10]

Come spunto: in effetti il ragionamento è ripetibile probabilmente anche nel caso in cui al posto di $2021$ ci fosse stata un esponente pari positivo, almeno nell'intervallo $]0,1[$. Forse può esserci qualche particolarità in più in $]-1,0[$, dove la derivata seconda forse non è sempre positiva e quindi la derivata prima sempre crescente.

[Mephlip]

Se l'esponente è pari non c'è speranza che ci siano soluzioni per $x<0$, in quanto $\sin x<0$ per ogni $x\in ]-\pi,0[$ e $x^t>0$ con $t$ pari (positivo) per ogni $x\in]-\pi,0[$, mentre per ogni $x<-\pi$ è $x^t>(-\pi^t)=\pi^t>1$ per decrescente monotonia delle potenze pari positive con base non positiva.

[Pinturicchio10]

Si, hai ragione. Stavo per scrivere io questa cosa, mi hai anticipato. Domanda stupida, chiedo venia

[Pinturicchio10]

Colgo l'occasione per rilanciare ancora.
Quante soluzioni ha l'equazione $x^2021 = 2*sin(10*pi*x)$ ?

[ghira1]

Tu che ne dici?

[Pinturicchio10]

Ho provato con il metodo adoperato per i problemi precedenti, con le dovute differenze chiaramente, ma in effetti si vede che non funziona. Vedo il grafico si vede che le intersezioni sono ben più di una ma non riesco a formulare un ragionamento formale.

[ingres]

La funzione

$f(x)=x^2021 - 2sin(10 pi x)$

è dispari e quindi se x* è soluzione di f(x*)=0 lo è anche -x*. Limitiamoci quindi a x>0.

Perchè si abbiano soluzioni dovrà essere $x^2021<2$ ovvero x<1.000343, e con qualche semplice ragionamento sul valore del sin si conclude per 0

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[Pinturicchio10]

Bel ragionamento! Giusto un chiarimento: come fai a dire che per ogni periodo ci sono due intersezioni del seno con $x^2021$ ?
Ne approfitto anche per chiederti meglio il fatto del punto escluso vicino ad 1.

[ingres]

Le due intersezioni per periodo si giustificano perchè $x^2021$ è positiva (per x>0) e crescente ma di valore inferiore a 2. Quindi anche con semplici considerazioni grafiche si può cocludere che ha 2 intersezioni nel periodo.

Queste intersezioni sono molto vicine ai punti di annullamento del sin ovvero x(k)=k/10 con k=1,2, 3..9, perchè per 0

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