Numero di equazioni

[stefano8612]

Ciao a tutti, ho appena iniziato a studiare analisi e ho provato a fare il seguente esercizio:

Si considerino le funzioni $f$ e $g$ definite da
$f(x) = |e^x - 2|$ e $g(x) = 2- |e^x - 2|$

(1) Tracciare i grafici di $f$ e $g$.
(2) Determinare il numero di soluzioni dell'equazione $g(x) = c$, al variare di $c in RR$.
(3) Risolvere esplicitamente l'equazione $g(x) = -1$.

Ho fatto i grafici delle due funzioni. Cosa vuol dire il punto (2)? Cosa devo fare? E il punto (3)?
Non ho proprio capito la consegna...

Grazie

[Nietzsche610]

2) Devi risolvere l'equazione: $2-|e^x-2|=c$, al variare del parametro $c$;
3) Devi risolvere l'equazione: $2-|e^x-2|=-1$.

E' chiaro che discutendo il punto 2), ottieni immediatamente risposta anche per il punto 3).

[stefano8612]

Grazie per la risposta. Un dubbio: come faccio a risolvere l'equazione $2−|e^x−2|=c$ dato che ha due incognite? Potresti farmi un esempio?
Grazie

[axpgn]

Non ha due incognite; l'incognita è una sola, la $x$, l'altra lettera è un parametro ... mai sentito parlare di equazioni letterali?
Risolvi l'equazione in funzione della $x$ e poi discuti il risultato al variare del parametro $c$.

Cordialmente, Alex

[dissonance]

No ragazzi, non bisogna *risolvere* quella equazione. Questo è proprio il punto dell'esercizio: imparare a trattare una equazione anche senza risolverla esplicitamente.

Bisogna unicamente determinare il numero di soluzioni di quella equazione, e la cosa si fa graficamente, tracciando la retta \(y=c\) e contando il numero di intersezioni con il grafico \(y=f(x)\) al variare del parametro \(c\).

[Kashaman]

"stefano86":Grazie per la risposta. Un dubbio: come faccio a risolvere l'equazione $2−|e^x−2|=c$ dato che ha due incognite? Potresti farmi un esempio?
Grazie

Qui in realtà non ti si chiede di determinare soluzioni precise ma di determinare quanti zeri ha quell'espressione.
Il problema è equivalente a fissare $c \in RR$ e considerare la mappa $h : RR -> RR$ , $h(x)= 2-|e^x-2|-c$. Il numero di soluzioni dell'equazione corrispondono al numero di zeri della funzione $h$.
(Questo è un altro modo di vedere la questione , nulla ti vieta di risolverla esplicitamente dato che l'equazione è elementare.)


@ dissonance mi ha preceduto d'un soffio. Mi scuso se il mio commento, a questo punto , può essere ridondante.

[stefano8612]

Grazie a tutti. Quindi vuol dire, in parole povere, che devo "tracciare" una linea orizzontale (la cui altezza varia) sul grafico di f(x) e vedere quante volte interseca il grafico di f, giusto?
E poi fare la stessa cosa con g(x), giusto?

Quindi per esempio per il grafico di f(x):
- se $c = 0$ allora c'è un'unica soluzione
- se $c < 0$ allora non ci sono soluzioni
- se $0 < c < 1$ allora le soluzioni sono 2
- se $c > 1$ allora c'è un'unica soluzione

Mentre per esempio per il grafico di g(x):
- se $c = 0$ allora c'è un'unica soluzione
- se $c = 2$ allora c'è un'unica soluzione
- se $c < 0$ allora c'è un'unica soluzione
- se $0 E' corretto?

[axpgn]

@dissonance
Non ho risposto all'esercizio ma alla sua domanda ...

[dott.ing1]

"stefano86":
Quindi per esempio per il grafico di f(x):
- se $c = 0$ allora c'è un'unica soluzione
- se $c < 0$ allora non ci sono soluzioni
- se $0 < c < 1$ allora le soluzioni sono 2
- se $c > 1$ allora c'è un'unica soluzione

Gli ultimi due intervalli sono $0=2$, ma penso sia una svista.

"stefano86":
Mentre per esempio per il grafico di g(x):
- se $c = 0$ allora c'è un'unica soluzione
- se $c = 2$ allora c'è un'unica soluzione
- se $c < 0$ allora c'è un'unica soluzione
- se $0

Ok, aggiungerei anche: zero soluzioni per $c>2$.

[stefano8612]

Grazie mille