Numero complesso sul piano
Ciao a tutti, se in un'equazione complessa ho il termine $z^2 + 9$ , l'angolo descritto sul piano di Gauss dovrebbe essere $pi/2$ in quanto $-9$ ha argomento $pi$ giusto? ( + $2kpi$ )
Quindi se ho la seguente equazione:
$ z^3 / \bar z = (z^2 + 9) / |z^2| $
( $ \bar z $ è il coniugato )
Solo osservando l'equazione (no forma esponenziale che non abbiamo trattato) come faccio a trovare l'argomento dei complessi che cerco come soluzioni?
Ragiono di solito così: $z^3$ ha argomento $3\theta$, il complesso coniugato $-\theta$ ed essendo una divisione gli argomenti si sottraggono, quindi $4\theta$ al primo membro. Dall'altra parte $z^2 + 9$ avrebbe argomento $pi/2 + 2kpi$ e al denominatore il modulo al quadrato è un numero reale quindi argomento nullo.
Alla fine verrebbe quindi $4\theta = pi/2 + 2kpi$ e quindi $\theta = pi/8 + (kpi)/2 $
Su Wolframalpha invece mi indica le soluzioni rappresentandole con angoli $0$, $pi/2$, $pi$, $-3pi/2$ e non capisco dove sbaglio.
Qualche aiuto seguendo questo ragionamento?
Quindi se ho la seguente equazione:
$ z^3 / \bar z = (z^2 + 9) / |z^2| $
( $ \bar z $ è il coniugato )
Solo osservando l'equazione (no forma esponenziale che non abbiamo trattato) come faccio a trovare l'argomento dei complessi che cerco come soluzioni?
Ragiono di solito così: $z^3$ ha argomento $3\theta$, il complesso coniugato $-\theta$ ed essendo una divisione gli argomenti si sottraggono, quindi $4\theta$ al primo membro. Dall'altra parte $z^2 + 9$ avrebbe argomento $pi/2 + 2kpi$ e al denominatore il modulo al quadrato è un numero reale quindi argomento nullo.
Alla fine verrebbe quindi $4\theta = pi/2 + 2kpi$ e quindi $\theta = pi/8 + (kpi)/2 $
Su Wolframalpha invece mi indica le soluzioni rappresentandole con angoli $0$, $pi/2$, $pi$, $-3pi/2$ e non capisco dove sbaglio.
Qualche aiuto seguendo questo ragionamento?
Risposte
"valerio7":
... $z^2 + 9$ avrebbe argomento $pi/2 + 2kpi$ ...
Come puoi pensare che, al variare di $[z]$, il numero complesso $[z^2+9]$ si trovi sempre sul semiasse immaginario positivo?
"valerio7":
Qualche aiuto seguendo questo ragionamento?
La vedo dura. Meglio procedere nel modo seguente:
$[z^3/\barz=(z^2+9)/|z^2|] rarr [z^4/(z\barz)=(z^2+9)/|z^2|] rarr [z^4/|z|^2=(z^2+9)/|z|^2] rarr [z^4-z^2-9=0]$
Insomma, devi risolvere una semplice equazione biquadratica.
Se l'argomento di \(-9\) è \(\pi\), quello di \(9\) sarà \(0\), no?
"anonymous_0b37e9":
[quote="valerio7"]
... $z^2 + 9$ avrebbe argomento $pi/2 + 2kpi$ ...
Come puoi pensare che, al variare di $[z]$, il numero complesso $[z^2+9]$ si trovi sempre sul semiasse immaginario positivo?
"valerio7":
Qualche aiuto seguendo questo ragionamento?
La vedo dura. Meglio procedere nel modo seguente:
$[z^3/\barz=(z^2+9)/|z^2|] rarr [z^4/(z\barz)=(z^2+9)/|z^2|] rarr [z^4/|z|^2=(z^2+9)/|z|^2] rarr [z^4-z^2-9=0]$
Insomma, devi risolvere una semplice equazione biquadratica.[/quote]
Ho pensato all'equazione $z^2 + 9 = 0$
Quindi $z^2 = -9$ e quindi come argomento $2\theta = -pi + 2kpi$
Nel post iniziale ho sbagliato a scrivere, intendevo $pi/2 + kpi$ quindi alla fine $\theta = pi/8 + (kpi)/4$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2+%2B+9+%3D+0
Non so dove sbaglio nell'interpretare l'equazione in quel modo.
Comunque sì, convengo che è molto meglio come l'hai svolta te
, basta suppore $z$ diverso da $0$ giusto?"seb":
Se l'argomento di \(-9\) è \(\pi\), quello di \(9\) sarà \(0\), no?
Sì, ma non devo vederlo come equazione "singola" $z^2 + 9 = 0$ ?
Non so come valutarla altrimenti.
Non ho assolutamente capito perché tu senta l'esigenza di risolvere l'equazione $[z^2 + 9=0]$. Ad ogni modo, il tuo procedimento sarebbe corretto se tu riuscissi a determinare l'argomento del numero complesso generico $[z^2 + 9]$, non dello stesso uguagliato a zero. Insomma, che c'entra uguagliarlo proprio a zero?
"anonymous_0b37e9":
Non ho assolutamente capito perché tu senta l'esigenza di risolvere l'equazione $[z^2 + 9=0]$. Ad ogni modo, il tuo procedimento sarebbe corretto se tu riuscissi a determinare l'argomento del numero complesso generico $[z^2 + 9]$, non dello stesso uguagliato a zero. Insomma, che c'entra uguagliarlo proprio a zero?
Ho capito, quindi non è possibile determinare l'argomento di $z^2 + 9$ almeno per quello che so a riguardo.
Grazie!
"valerio7":
Ho capito, quindi non è possibile determinare l'argomento di $z^2 + 9$ almeno per quello che so a riguardo.
Volendo si può, ma non ne vale la pena.
"anonymous_0b37e9":
[quote="valerio7"]
Ho capito, quindi non è possibile determinare l'argomento di $z^2 + 9$ almeno per quello che so a riguardo.
Volendo si può, ma non ne vale la pena.[/quote]
Per curiosità, come si potrebbe fare? Con la somma di numeri complessi non mi pare ci sia nessuna relazione riguardo gli argomenti come con moltiplicazione e divisione.
A meno che, dato che $9$ è reale, sia semplicemente $2\theta$ e quindi nell'equazione complessiva dell'esercizio iniziale risulterebbe $2\theta = 0 + 2kpi$, però nel piano le soluzioni dovrebbero avere argomenti da $0$ a $3pi/2$ a salti di $pi/2$, così verrebbero a salti di $pi$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo