Numero complesso...
Ciao a tutti, ho l'equazione $(z-1)^3=[cos(pi/6)+isin(pi/6)]^9$ da risolvere nel campo complesso.... l'ho risolta così:
pongo $(z-1)=omega$ e quindi l'equazione diventa $omega^3=[cos(pi/6)+isin(pi/6)]^9$ $rarr$ $omega=root(3)([cos(pi/6)+isin(pi/6)]^9)$ $rarr$ $omega=(sqrt3/2+i1/2)^2$
per cui noi stiamo cercando $omega=z^2$ $rarr$ $omega=(1/2+isqrt3/2)$ quindi alla fine l'equazione divenda:
$(z-1)=(1/2+isqrt3/2)$
$z=i+1/2+isqrt3/2$
$z=1/2+isqrt3$..... però mi sembra tutto sbagliato, non ho nemmeno il risultato...
pongo $(z-1)=omega$ e quindi l'equazione diventa $omega^3=[cos(pi/6)+isin(pi/6)]^9$ $rarr$ $omega=root(3)([cos(pi/6)+isin(pi/6)]^9)$ $rarr$ $omega=(sqrt3/2+i1/2)^2$
per cui noi stiamo cercando $omega=z^2$ $rarr$ $omega=(1/2+isqrt3/2)$ quindi alla fine l'equazione divenda:
$(z-1)=(1/2+isqrt3/2)$
$z=i+1/2+isqrt3/2$
$z=1/2+isqrt3$..... però mi sembra tutto sbagliato, non ho nemmeno il risultato...
Risposte
Invece di portarti dietro la roba nel membro di destra puoi semplificare le potenze, ricorda che:
[tex]$\cos \vartheta + i \sin \vartheta = e^{i \vartheta}$[/tex]
Con qualche passaggino semplifichi di brutto, e poi devi avere 3 soluzioni.
[tex]$\cos \vartheta + i \sin \vartheta = e^{i \vartheta}$[/tex]
Con qualche passaggino semplifichi di brutto, e poi devi avere 3 soluzioni.
quindi il risultato che ho trovato è sbagliato? oppure va bene però è lungo come procedimento?
Il risultato che trovi è sbagliato: devi avere tre soluzioni. Il ragionamento di sostituire [tex]$w=z-1$[/tex] va bene. Ora pero ottieni
[tex]$w^3=\cos\frac{9\pi}{6}+i\sin\frac{9\pi}{6}=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}$[/tex]
(ho usato la formula di de Moivre [tex]$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$[/tex]. A questo punto devi trovare le tre soluzioni dell'equazione [tex]$w^3=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}$[/tex]: sai come fare?
[tex]$w^3=\cos\frac{9\pi}{6}+i\sin\frac{9\pi}{6}=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}$[/tex]
(ho usato la formula di de Moivre [tex]$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$[/tex]. A questo punto devi trovare le tre soluzioni dell'equazione [tex]$w^3=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}$[/tex]: sai come fare?
si si a questo punto devo usare la seconda formula del De Moivre quella per le radici n-esime di $z in CC$;
però non ho capito dove ho sbagliato io; nel senso ho $root(3)(a^9)$ che viene dal prodotto $root(3)(a^3)*root(3)(a^3)$ che per una proprietà delle radici si ha che $root(n)(a^n)=a$ quindi:
$root(3)(a^9)=$ $root(3)(a^3)*root(3)(a^3)=$ $a*a=$ $a^2$ quindi poi a questo punto ho applicato anche io la prima formula di de Moivre a $omega=a^2$....non ho capito l'errore a questo punto sembra tutto corretto....perchè non si può fare???
però non ho capito dove ho sbagliato io; nel senso ho $root(3)(a^9)$ che viene dal prodotto $root(3)(a^3)*root(3)(a^3)$ che per una proprietà delle radici si ha che $root(n)(a^n)=a$ quindi:
$root(3)(a^9)=$ $root(3)(a^3)*root(3)(a^3)=$ $a*a=$ $a^2$ quindi poi a questo punto ho applicato anche io la prima formula di de Moivre a $omega=a^2$....non ho capito l'errore a questo punto sembra tutto corretto....perchè non si può fare???
Semplicemente la proprietà [tex]$\sqrt[n]{a^n}=a$[/tex] non è più vera nel caso di un numero complesso a causa della formula di de Moivre. 
Prova a calcolare [tex]$\sqrt[3]{2^3}$[/tex] e ti accorgerai che i valori possibili sono (in campo complesso) [tex]$2,\ -1+i\sqrt{3},\ -1-i\sqrt{3}$[/tex]
Prova a calcolare [tex]$\sqrt[3]{2^3}$[/tex] e ti accorgerai che i valori possibili sono (in campo complesso) [tex]$2,\ -1+i\sqrt{3},\ -1-i\sqrt{3}$[/tex]
ah giusto, adesso ho capito....!!! grazie mille....
poi per quanto diceva Angelo D. ovvero visto che $costheta+i sintheta=$ $e^(itheta)$ quell'equazione diventa: $omega^3=(e^(itheta))^9$ quindi è uguale:
$omega^3=e^(9itheta)$ però poi non ho capito come procedere....
poi per quanto diceva Angelo D. ovvero visto che $costheta+i sintheta=$ $e^(itheta)$ quell'equazione diventa: $omega^3=(e^(itheta))^9$ quindi è uguale:
$omega^3=e^(9itheta)$ però poi non ho capito come procedere....
Quello che dicevo io, è che in realta l'equazione è equivalente a:
[tex](z-1)^3 = - i[/tex]
[tex](z-1)^3 = - i[/tex]
chiedo scusa..... ma non ho capito come fai ad arrivare fino a quel punto semplificando le potenze.... cioè intendi con la formula di de Moivre? come mi ha detto ciampax???
no perchè pensavo essendo che $cos theta +i sin theta=e^(i theta)$ allora si pteva fare ancora più rapidamente applicando qualche proprietà delle potenze.....
no perchè pensavo essendo che $cos theta +i sin theta=e^(i theta)$ allora si pteva fare ancora più rapidamente applicando qualche proprietà delle potenze.....
"ciampax":
(ho usato la formula di de Moivre [tex]$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$[/tex]. A questo punto devi trovare le tre soluzioni dell'equazione [tex]$w^3=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}$[/tex]
Infatti [tex]$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$[/tex] e [tex]$i\sin\frac{3\pi}{2} = -i$[/tex]
ok ho capito...!!!! grazie a tutti e due!!!!!!!!
Chiedo scusa se riapro il post, ho un altro esercizio, molto semplice, devo calcolare risolvere, nel campo complesso l'equazione $x^5+2=0$ (molto facile), io ho fatto:
$x^5=-2$ per cui devo calcolare le radici quinte di $-2$...
il modulo è $rho=2$ quindi
$cos theta=-2/2=-1$ mentre il seno è
$sin theta=0/2=0$, quindi $theta=pi$...
le radici sono:
$omega_(k_0)=[root(5)(2);pi/5]=root(5)(2)(cos (pi/5)+ i sin (pi/5))$;
$omega_(k_1)=[root(5)(2);3/5pi]=root(5)(2)(cos (3/5pi)+ i sin (3/5pi))$;
$omega_(k_2)=[root(5)(2);5/5pi]=root(5)(2)(cos pi+ i sin pi)=-root(5)(2) $;
$omega_(k_3)=[root(5)(2);7/5pi]=root(5)(2)(cos (7/5pi)+ i sin (7/5pi))$;
$omega_(k_4)=[root(5)(2);9/5pi]=root(5)(2)(cos (9/5pi)+ i sin (9/5pi))$... però credo di aver sbagliato qualcosa... ho fatto bene?
$x^5=-2$ per cui devo calcolare le radici quinte di $-2$...
il modulo è $rho=2$ quindi
$cos theta=-2/2=-1$ mentre il seno è
$sin theta=0/2=0$, quindi $theta=pi$...
le radici sono:
$omega_(k_0)=[root(5)(2);pi/5]=root(5)(2)(cos (pi/5)+ i sin (pi/5))$;
$omega_(k_1)=[root(5)(2);3/5pi]=root(5)(2)(cos (3/5pi)+ i sin (3/5pi))$;
$omega_(k_2)=[root(5)(2);5/5pi]=root(5)(2)(cos pi+ i sin pi)=-root(5)(2) $;
$omega_(k_3)=[root(5)(2);7/5pi]=root(5)(2)(cos (7/5pi)+ i sin (7/5pi))$;
$omega_(k_4)=[root(5)(2);9/5pi]=root(5)(2)(cos (9/5pi)+ i sin (9/5pi))$... però credo di aver sbagliato qualcosa... ho fatto bene?
Tutto a posto.
Poi, è facile visualizzare la situazione per un controllo grafico.
Infatti, per note proprietà, le radici [tex]$5$[/tex] di un numero complesso [tex]$z$[/tex] sono i vertici di un pentagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio [tex]$\sqrt[5]{|z|}$[/tex]; visto che [tex]$z=-2$[/tex] è dotato di una radice reale, ossia [tex]$-\sqrt[5]{2}$[/tex], puoi posizionare tale vertice/radice e ricavare gli altri di conseguenza graficamente.
Poi, è facile visualizzare la situazione per un controllo grafico.
Infatti, per note proprietà, le radici [tex]$5$[/tex] di un numero complesso [tex]$z$[/tex] sono i vertici di un pentagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio [tex]$\sqrt[5]{|z|}$[/tex]; visto che [tex]$z=-2$[/tex] è dotato di una radice reale, ossia [tex]$-\sqrt[5]{2}$[/tex], puoi posizionare tale vertice/radice e ricavare gli altri di conseguenza graficamente.
io volevo anche fare il grafico ma non sapevo come posizionare i vettori, o meglio non sapevo $pi/5$ dove si trova sulla circonferenza oppure come lo posso calcolare....
Fai "a occhio"... Va bene la precisione, ma fino a un certo punto...
io ho pensaqto che stà poco poco più sotto di $pi/4$ però per nn sbagliare non ho disegnato alcun grafico...
ragazzi ho l'equazione complessa $2Re[z(1+i)]+zbarz=0$, è davvero facile da risolvere infatti mi viene:
$2Re[(u+iv)(1+i)]+(u+iv)(u-iv)=0$
$2Re[u+iu+iv-v]+u^2+v^2=0$
$u^2+v^2+2u-2v=0$ che è l'equazione della circonferenza... ora nell'esercizio io ho scritto che "la soluzione dell'equazione complessa sono tutti i punti della circonferenza che ha come equazione $u^2+v^2+2u-2v=0$"... però non ho specificato il raggio e il centro secondo voi è accettata come soluzione oppure no...l'esercio chiede solo di risolverla e niente più...
$2Re[(u+iv)(1+i)]+(u+iv)(u-iv)=0$
$2Re[u+iu+iv-v]+u^2+v^2=0$
$u^2+v^2+2u-2v=0$ che è l'equazione della circonferenza... ora nell'esercizio io ho scritto che "la soluzione dell'equazione complessa sono tutti i punti della circonferenza che ha come equazione $u^2+v^2+2u-2v=0$"... però non ho specificato il raggio e il centro secondo voi è accettata come soluzione oppure no...l'esercio chiede solo di risolverla e niente più...
Se avessi specificato cos'è quel luogo geometrico forse sarebbe stato meglio, ma in definitiva l'esercizio è risolto correttamente.
ciao a tutti, ho un dubbio sullo svolgimento di un numero complesso, l'esercizio è: risolvere il seguente numero complesso
$|(sqrt2/2-isqrt2/2)^150|$ a prima visto dico che il modulo $rho = 1$ e il numero complesso in forma trigonometrica è
$|[1;-pi/4]^150|$ ora prima di calcolare il modulo non dovrei prima calcolare le potenze del numero complesso? no perchè da dove ho preso questo esercizio è stato risolto direttamente, dice:
$|(sqrt2/2-isqrt2/2)^150|=|[1;-pi/4]^150|=1$ io invece ho risolto diversamente:
$|(sqrt2/2-isqrt2/2)^150|=|[1^150;150(-pi/4)]|=|[1;-75/2pi]|=$
$ |[1;-74/2pi-pi/2]|=$ $ |[1;-37pi-pi/2]|=$ $|[1;-36pi-pi-pi/2]|=$
$|[1;-36pi-3/2pi]|=$$|[1;2kpi-3/2pi]_(k=-18)|$ ovvero $|[1;-3/2pi]|$
ora cerco le potenze:
$|(0+isin -3/2pi )|= |0+1|=1$ in entrambi i casi ci troviamo però lo svolgimento corretto non dovrebbe essere quello che ho scritto io?
$|(sqrt2/2-isqrt2/2)^150|$ a prima visto dico che il modulo $rho = 1$ e il numero complesso in forma trigonometrica è
$|[1;-pi/4]^150|$ ora prima di calcolare il modulo non dovrei prima calcolare le potenze del numero complesso? no perchè da dove ho preso questo esercizio è stato risolto direttamente, dice:
$|(sqrt2/2-isqrt2/2)^150|=|[1;-pi/4]^150|=1$ io invece ho risolto diversamente:
$|(sqrt2/2-isqrt2/2)^150|=|[1^150;150(-pi/4)]|=|[1;-75/2pi]|=$
$ |[1;-74/2pi-pi/2]|=$ $ |[1;-37pi-pi/2]|=$ $|[1;-36pi-pi-pi/2]|=$
$|[1;-36pi-3/2pi]|=$$|[1;2kpi-3/2pi]_(k=-18)|$ ovvero $|[1;-3/2pi]|$
ora cerco le potenze:
$|(0+isin -3/2pi )|= |0+1|=1$ in entrambi i casi ci troviamo però lo svolgimento corretto non dovrebbe essere quello che ho scritto io?
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