Numero Complesso
Salve. Frequento da molto Matematicamente e mi ha aiutato parecchio ma i complessi li studio , li ristudio , provo a fare esercizi su esercizi ma nulla non mi riescono, eppure dicono che sia la parte più facile dell'esame di Analisi! xD
So che non siete qui per svolgere esercizi ma io vi sarei immensamente grata se mi aiutaste per questo complesso.
Vi ringrazio infinitamente!
$ (bar((1-isqrt(3) )^2) * |sqrt(3) + 3i|)/((1-i)^2(-1+isqrt(3) )^2 $
So che non siete qui per svolgere esercizi ma io vi sarei immensamente grata se mi aiutaste per questo complesso.
Vi ringrazio infinitamente!
$ (bar((1-isqrt(3) )^2) * |sqrt(3) + 3i|)/((1-i)^2(-1+isqrt(3) )^2 $
Risposte
Ciao,
benvenuta su matematicamente, puoi mostrare quello che sei riuscita a fare e dove ti blocchi?
la riga sopra significa che abbiamo il coniugato?
Ho svolto un po' di conti e mi viene $z=sqrt3+3i$, se corretto ti seguo nell'esercizio.
benvenuta su matematicamente, puoi mostrare quello che sei riuscita a fare e dove ti blocchi?
la riga sopra significa che abbiamo il coniugato?
Ho svolto un po' di conti e mi viene $z=sqrt3+3i$, se corretto ti seguo nell'esercizio.
Grazie mille per la risposta. La soluzione purtroppo non ce l'ho e dovrei trasformarlo in forma trigonometrica e trovarne modulo e argomento. Sono sempre stata poco ferrata in materia ma i passaggi che farei (chiedo scusa a chi è davvero preparato, ma sbagliando s'impara e spero che i miei errori non siano terribili 
)per la parte superiore sono questi:
1) Fare il quadrato di binomio e eliminare il coniugato modificando i segni al di sotto e moltiplicarlo con quello che è racchiuso nel valore assoluto.
2)Farei la stessa cosa il di sotto(farei i quadrati e poi le moltiplicazioni) e poi trasformerei sia numeratore che denominatore in forma trigonometrica e con De Moivre mi calcolerei moduli e argomenti.
Spero di non essere stata una vera capra e bacchettatemi per qualsiasi errore. Grazie
)per la parte superiore sono questi:1) Fare il quadrato di binomio e eliminare il coniugato modificando i segni al di sotto e moltiplicarlo con quello che è racchiuso nel valore assoluto.
2)Farei la stessa cosa il di sotto(farei i quadrati e poi le moltiplicazioni) e poi trasformerei sia numeratore che denominatore in forma trigonometrica e con De Moivre mi calcolerei moduli e argomenti.
Spero di non essere stata una vera capra e bacchettatemi per qualsiasi errore. Grazie
io non ho usato la forma trigonometrica, posta proprio i passaggi che hai fatto, viene più facile controllare. Purtroppo soffro di grande insicurezza di conseguenza se non ho la certezza di far giusto temo di fuorviare, spero che intervenga qualche altro utente...
Attenta che $|...|$ è il modulo e non il valore assoluto.
$|z|=|x+iy|=sqrt(x^2+y^2)$
Per il resto, il tuo modo di procedere mi pare giusto. In ogni caso sono dello stesso parere di gio73 e ti consiglio di postare, meglio se passo per passo, i vari conti, così si capisce meglio.
$|z|=|x+iy|=sqrt(x^2+y^2)$
Per il resto, il tuo modo di procedere mi pare giusto. In ogni caso sono dello stesso parere di gio73 e ti consiglio di postare, meglio se passo per passo, i vari conti, così si capisce meglio.
Forse sbaglio i calcoli, ma a me viene:
\(\displaystyle z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \)
\(\displaystyle z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \)
Pure a me, ma mi ero scordato di dirlo 
Allora ho sbagliato io
poi semmai posto i calcoli così mi controllate
poi semmai posto i calcoli così mi controllate
Dunque, considerando che si vuole ottenere il risultato in forma trigonometrica, la cosa migliore è convertire direttamente tutti i numeri presenti e poi ricordare due regole fondamentali quando i numeri complessi $z,w$ sono espressi in forma trigonometrica con $r,r'$ i moduli e $\theta,\theta'$ gli argomenti:
1) il modulo di $zw$ è $rr'$ mentre il modulo di $z/w$ è $r/{r'}$
2) l'argomento di $zw$ è $\theta+\theta'$ mentre l'argomento di $z/w$ è $\theta-\theta'$
3) l'argomento di $\bar{z}$ è $-\theta$.
A questo punto scriviamo
$$1-i\sqrt{3}=2(\cos 5\pi/3+i\sin 5\pi/3),\quad \sqrt{3}+3i=2\sqrt{3}(\cos\pi/3+i\sin\pi/3)\\ 1-i=\sqrt{2}(\cos 7\pi/4+i\sin 7\pi/4),\quad -1+i\sqrt{3}=2(\cos 2\pi/3+i\sin 2\pi/3)$$
da cui segue
$$z=\frac{\overline{[2(\cos 5\pi/3+i\sin 5\pi/3)]^2}\cdot|2\sqrt{3}(\cos\pi/6+i\sin\pi/6)|}{[\sqrt{2}(\cos 7\pi/4+i\sin 7\pi/4)]^2\cdot[2(\cos 2\pi/3+i\sin 2\pi/3)]^2}=\frac{\overline{4(\cos 10\pi/3+i\sin 10\pi/3)}\cdot 2\sqrt{3}}{2(\cos 14\pi/4+i\sin 14\pi/4)\cdot 4(\cos 4\pi/3+i\sin 4\pi/3)}= $$
usando le tre regole che ho enunciato prima
$$=\frac{4\cdot 2\sqrt{3}}{2\cdot 4}\left[\cos\left(-\frac{10\pi}{3}-\frac{14\pi}{4}-\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{10\pi}{3}-\frac{14\pi}{4}-\frac{4\pi}{3}\right)\right]$$
e poiché
$$-\frac{10\pi}{3}-\frac{14\pi}{4}-\frac{4\pi}{3}=-\frac{98\pi}{12}=-\frac{49\pi}{6}=-\frac{48\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=-8\pi-\frac{\pi}{6}$$
che per periodicità, coincide con l'angolo ${11\pi}/{6}$ dell'intervallo $[0,2\pi]$. Pertanto il risultato è
$$z=\sqrt{3}\left[\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right]=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)$$
1) il modulo di $zw$ è $rr'$ mentre il modulo di $z/w$ è $r/{r'}$
2) l'argomento di $zw$ è $\theta+\theta'$ mentre l'argomento di $z/w$ è $\theta-\theta'$
3) l'argomento di $\bar{z}$ è $-\theta$.
A questo punto scriviamo
$$1-i\sqrt{3}=2(\cos 5\pi/3+i\sin 5\pi/3),\quad \sqrt{3}+3i=2\sqrt{3}(\cos\pi/3+i\sin\pi/3)\\ 1-i=\sqrt{2}(\cos 7\pi/4+i\sin 7\pi/4),\quad -1+i\sqrt{3}=2(\cos 2\pi/3+i\sin 2\pi/3)$$
da cui segue
$$z=\frac{\overline{[2(\cos 5\pi/3+i\sin 5\pi/3)]^2}\cdot|2\sqrt{3}(\cos\pi/6+i\sin\pi/6)|}{[\sqrt{2}(\cos 7\pi/4+i\sin 7\pi/4)]^2\cdot[2(\cos 2\pi/3+i\sin 2\pi/3)]^2}=\frac{\overline{4(\cos 10\pi/3+i\sin 10\pi/3)}\cdot 2\sqrt{3}}{2(\cos 14\pi/4+i\sin 14\pi/4)\cdot 4(\cos 4\pi/3+i\sin 4\pi/3)}= $$
usando le tre regole che ho enunciato prima
$$=\frac{4\cdot 2\sqrt{3}}{2\cdot 4}\left[\cos\left(-\frac{10\pi}{3}-\frac{14\pi}{4}-\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{10\pi}{3}-\frac{14\pi}{4}-\frac{4\pi}{3}\right)\right]$$
e poiché
$$-\frac{10\pi}{3}-\frac{14\pi}{4}-\frac{4\pi}{3}=-\frac{98\pi}{12}=-\frac{49\pi}{6}=-\frac{48\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=-8\pi-\frac{\pi}{6}$$
che per periodicità, coincide con l'angolo ${11\pi}/{6}$ dell'intervallo $[0,2\pi]$. Pertanto il risultato è
$$z=\sqrt{3}\left[\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right]=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)$$
Giustissimo, ma visto che dice di trovare già difficoltà svolgendola normalmente (e si tratta in definitiva di lavorare con dei binomi), credo che lavorare con la trigonometria possa risultare fonte di ulteriori complicanze. O almeno, se mi trovassi in una situazione analoga, la via più facile e comprensibile sarebbe senza ombra di dubbio quella di svolgere quei semplici passaggi algebrici e solo alla fine trasformali in forma trigonometrica.
@gio73: volentieri
@gio73: volentieri
Secondo me puoi trasformarlo in forma trigonometrica partendo dal risultato in forma algebrica:
\(\displaystyle z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \)
A questo punto l'argomento della forma trigonometrica è il seguente:
\(\displaystyle \theta=\arctan \left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}\right)=\arctan \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \)
Prendendo $k=1$ si ha
\(\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{6\pi-\pi}{6}=\frac{5}{6}\pi \)
L'argomento è
\(\displaystyle \theta=\frac{5}{6}\pi \)
Il modulo è invece
\(\displaystyle |z|=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{3 \cdot 4}{4}}=\sqrt{3} \)
Quindi
\(\displaystyle |z|=\sqrt{3} \)
Alla fine il numero complesso in forma trigonometrica è
\(\displaystyle z=\sqrt{3}\cos \left(\frac{5}{6}\pi\right)+\sqrt{3}\sin \left(\frac{5}{6}\pi\right)i \)
Con la rappresentazione esponenziale sarebbe
\(\displaystyle z=\sqrt{3}\mathit{e}^{\frac{5}{6}\pi i} \)
\(\displaystyle z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \)
A questo punto l'argomento della forma trigonometrica è il seguente:
\(\displaystyle \theta=\arctan \left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}\right)=\arctan \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \)
Prendendo $k=1$ si ha
\(\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{6\pi-\pi}{6}=\frac{5}{6}\pi \)
L'argomento è
\(\displaystyle \theta=\frac{5}{6}\pi \)
Il modulo è invece
\(\displaystyle |z|=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{3 \cdot 4}{4}}=\sqrt{3} \)
Quindi
\(\displaystyle |z|=\sqrt{3} \)
Alla fine il numero complesso in forma trigonometrica è
\(\displaystyle z=\sqrt{3}\cos \left(\frac{5}{6}\pi\right)+\sqrt{3}\sin \left(\frac{5}{6}\pi\right)i \)
Con la rappresentazione esponenziale sarebbe
\(\displaystyle z=\sqrt{3}\mathit{e}^{\frac{5}{6}\pi i} \)
"lobacevskij":
@gio73: volentieri
Ecco i miei conti
Edit: riscrivendoli ho trovato l'errore
Bene così. Non resta che vedere se la diretta interessata ne è venuta a capo
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