Numeri reali nell'Analisi matematica 1 del Pagani-Salsa
Mi sembra di capire, leggendo altre discussioni, che la definizione di numero reale e delle relative operazioni aritmetiche fatte dal Pagani-Salsa non siano delle più chiare. In effetti leggendo la definizione di prodotto mi trovo:
siano $a,b in RR$ e siano $a^((n)),b^((n)) in RR$ i reali troncati a $n$ di $a$ e $b$, dove $n$ è l'ennesima cifra decimale;
si definisce il prodotto tra numeri reali come
$(a^((n))*b^((n)))^((n))=p$
Esempio: $a=2.4$ e $b=3.2$ quindi $n=1$, cioè sono troncati alla prima cifra decimale; però il prodotto $(2.4^((1))*3.2^((1)))^((1))=2.68$ ha due cifre decimali, mentre dalla definizione dovrei averne una....
siano $a,b in RR$ e siano $a^((n)),b^((n)) in RR$ i reali troncati a $n$ di $a$ e $b$, dove $n$ è l'ennesima cifra decimale;
si definisce il prodotto tra numeri reali come
$(a^((n))*b^((n)))^((n))=p$
Esempio: $a=2.4$ e $b=3.2$ quindi $n=1$, cioè sono troncati alla prima cifra decimale; però il prodotto $(2.4^((1))*3.2^((1)))^((1))=2.68$ ha due cifre decimali, mentre dalla definizione dovrei averne una....
Risposte
A me pare giusto. Scriviamo allineamenti decimali per \(a, b\):
\[a=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)}}{10^n},\qquad b=\sum_{n=0}^\infty \frac{b^{(n)}}{10^n}\]
allora
\[ab=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n a^{(n-k)}b^{(k)}\right) \frac{1}{10^n}.\]
Quindi la \(n\)-esima cifra dell'allineamento decimale (*) di \(ab\) è \(\sum_{k=0}^n a^{(n-k)}b^{(k)}\) e dipende solo dalle prime \(n\) cifre di \(a\) e di \(b\). Il tuo esempio è sbagliato perché dovresti scrivere invece
\[(2.4\cdot 3.2)^{(1)}=2.6; \]
\[(2.4\cdot 3.2)^{(2)}=2.68.\]
___________
(*) Dovremmo dire: "di un allineamento decimale", per non dimenticare che esso non è unico, ma facciamo finta di non essercene ricordati.
\[a=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)}}{10^n},\qquad b=\sum_{n=0}^\infty \frac{b^{(n)}}{10^n}\]
allora
\[ab=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n a^{(n-k)}b^{(k)}\right) \frac{1}{10^n}.\]
Quindi la \(n\)-esima cifra dell'allineamento decimale (*) di \(ab\) è \(\sum_{k=0}^n a^{(n-k)}b^{(k)}\) e dipende solo dalle prime \(n\) cifre di \(a\) e di \(b\). Il tuo esempio è sbagliato perché dovresti scrivere invece
\[(2.4\cdot 3.2)^{(1)}=2.6; \]
\[(2.4\cdot 3.2)^{(2)}=2.68.\]
___________
(*) Dovremmo dire: "di un allineamento decimale", per non dimenticare che esso non è unico, ma facciamo finta di non essercene ricordati.
"GundamRX91":
siano $a,b in RR$ e siano $a^((n)),b^((n)) in RR$ i reali troncati a $n$ di $a$ e $b$, dove $n$ è l'ennesima cifra decimale; si definisce il prodotto tra numeri reali come
$(a^((n))*b^((n)))^((n))=p$
No. Si definisce come quel numero reale $p$ tale che
\( (a^{(n)} \cdot b^{(n)})^{(n)} \rightrightarrows p \).
Esempio: $a=2.4$ e $b=3.2$ quindi $n=1$, cioè sono troncati alla prima cifra decimale; però il prodotto $(2.4^((1))*3.2^((1)))^((1))=2.68$ ha due cifre decimali, mentre dalla definizione dovrei averne una....
Hai che:
\( (a^{(1)} \cdot b^{(1)})^{(1)} = 2.6 \),
\( ( a^{(n)} \cdot b^{(n)})^{(n)} = 2.680\ldots 0 \) per $n\ge 2$ (a destra ci sono $n-2$ zeri).
Edit: mi ha anticipato dissonance.
Ok dubbio stupido 
Nel momento che stabilisco a quante cifre decimale troncare i numeri reali, anche le operazioni su essi dovranno essere troncate allo stesso modo.
NB. In effetti sul Pagani-Salsa il prodotto di numeri reali viene indicato alla fine con la doppia freccia, ma ancora non riesco a riprodurlo
Nel momento che stabilisco a quante cifre decimale troncare i numeri reali, anche le operazioni su essi dovranno essere troncate allo stesso modo.NB. In effetti sul Pagani-Salsa il prodotto di numeri reali viene indicato alla fine con la doppia freccia, ma ancora non riesco a riprodurlo
Qui trovi tutti i simboli \( \LaTeX \) che vuoi:
http://ctan.mirror.garr.it/mirrors/CTAN ... ols-a4.pdf
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Grazie 
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