Numeri reali e completezza
ciao a tutti!
avrei un dubbio riguardante l' assioma di completezza:
si puo definire assiomaticamente R come campo ordinato + assioma di completezza o assioma del sup
da qui segue che R è un campo ordinato arcimedeo. la dimostrazione della propietà di archimede sfrutta pero in maniera evidente l' assioma di completezza. come è possibile che non si possa dimostrare con le sole proprietà di campo ordinato dato che in Q è comunque valido? esiste una dimostrazione che non sfrutti la completezza? se si mela sapreste indicare?
avrei un' altra piccola domanda:
dato l' assioma di completezza segue che in R ogni successione di cauchy ammette limite;
sui libri c' e scritto che si puo dimostrare il viceversa prendendo come assiomi il fatto che ogni successione di cauchy ammette limite e la proprietà di archimede. è possibile che si riesca a dimostrare l' assioma di completezza a partire soltanto dal primo assioma (ogni successione di cauchy ammette limite) senza la proprietà archimedea?
spero di aver postato nella sezione giusta e vi ringrazio anticipatamente!
avrei un dubbio riguardante l' assioma di completezza:
si puo definire assiomaticamente R come campo ordinato + assioma di completezza o assioma del sup
da qui segue che R è un campo ordinato arcimedeo. la dimostrazione della propietà di archimede sfrutta pero in maniera evidente l' assioma di completezza. come è possibile che non si possa dimostrare con le sole proprietà di campo ordinato dato che in Q è comunque valido? esiste una dimostrazione che non sfrutti la completezza? se si mela sapreste indicare?
avrei un' altra piccola domanda:
dato l' assioma di completezza segue che in R ogni successione di cauchy ammette limite;
sui libri c' e scritto che si puo dimostrare il viceversa prendendo come assiomi il fatto che ogni successione di cauchy ammette limite e la proprietà di archimede. è possibile che si riesca a dimostrare l' assioma di completezza a partire soltanto dal primo assioma (ogni successione di cauchy ammette limite) senza la proprietà archimedea?
spero di aver postato nella sezione giusta e vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
"jack8929":
si puo definire assiomaticamente R come campo ordinato + assioma di completezza o assioma del sup
da qui segue che R è un campo ordinato arcimedeo. la dimostrazione della propietà di archimede sfrutta pero in maniera evidente l' assioma di completezza. come è possibile che non si possa dimostrare con le sole proprietà di campo ordinato dato che in Q è comunque valido? esiste una dimostrazione che non sfrutti la completezza? se si mela sapreste indicare?
L'assioma di completezza è fondamentale per dimostrare la proprietà archimedea.
Esistono infatti dei campi ordinati (come il campo degli iperreali utilizzato nell'analisi non standard) che non sono completi e non sono archimedei.
Un esempio più alla mano è quello delle "forme razionali". Normalmente sono chiamate funzioni razionali, ma col termine forma intendo che le considereremo semplicemente come espressioni formali, e non come funzioni (quindi non ci preoccuperemo di dominî et similia).
Consideriamo l'insieme:
$RR(x)={(p(x))/(q(x)) | p(x),q(x)" sono polinomî a coefficienti reali e q(x) non è il polinomio nullo"}$
con le naturali operazioni di somma e prodotto.
Ogni forma razionale si può scrivere nella forma: $(a_n x^n+a_{n-1}+...+x^{n-1}+a_1 x+a_0)/(x^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1 x+b_0)$. Ossia in maniera tale che il primo coefficiente del denominatore sia 1.
Diremo che una forma è positiva se $a_n>0$ e negativa se $a_n<0$.
E date due forme $(p(x))/(q(x)), (r(x))/(s(x))$ diremo che $(p(x))/(q(x))>(r(x))/(s(x))$ se e solo se $(p(x))/(q(x))-(r(x))/(s(x))>0$, ossia è positiva.
Infine si dimostra che:
1. $RR(x)$ è un campo ordinato
2. $RR(x)$ non è archimedeo
Consideriamo l'insieme:
$RR(x)={(p(x))/(q(x)) | p(x),q(x)" sono polinomî a coefficienti reali e q(x) non è il polinomio nullo"}$
con le naturali operazioni di somma e prodotto.
Ogni forma razionale si può scrivere nella forma: $(a_n x^n+a_{n-1}+...+x^{n-1}+a_1 x+a_0)/(x^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1 x+b_0)$. Ossia in maniera tale che il primo coefficiente del denominatore sia 1.
Diremo che una forma è positiva se $a_n>0$ e negativa se $a_n<0$.
E date due forme $(p(x))/(q(x)), (r(x))/(s(x))$ diremo che $(p(x))/(q(x))>(r(x))/(s(x))$ se e solo se $(p(x))/(q(x))-(r(x))/(s(x))>0$, ossia è positiva.
Infine si dimostra che:
1. $RR(x)$ è un campo ordinato
2. $RR(x)$ non è archimedeo
e per quanto riguarda la seconda domanda? ovvero dimostrare che in un campo ordinato + l' assioma della cauchy completezza (ogni successione di cauchy e convergente in R) vale l' assioma di deedekind senza l' ausilio dell' ipotesi archimedea?
in altre parole un campo ordinato completo secondo cauchy è completo secondo dedekind senza aggiungere l' ipotesi archimedea?
a me era venuta in mente questa dimostrazione:
prendo una sezione di R (A,B);
prendo un elemento di A e un elemento di B a caso; se uno dei due è elemento separatore ho finito senno procedo per bisezione.. a questo punto o ottengo un elemento separatore in un numero finito di iterazioni o costruisco due successioni an e bn; è facile verificare che sono entrambe monotone e di cauchy; a questo punto uso l' ipotesi che ogni successione di cauchy converge, quindi entrambe convergono ad uno stesso numero reale ed è facile dimostrare che questo ha le propietà dell' elemento separatore.
ora poichè nei libri viene sempre detto che la cauchy completezza implica la dedekind completezza con l' aggiuntiva ipotesi archimedea mi chiedevo se effettivamente questa è necessaria e nel caso dov' è l' errore della dimostrazione che ho scritto... grazie mille a tutti!!
in altre parole un campo ordinato completo secondo cauchy è completo secondo dedekind senza aggiungere l' ipotesi archimedea?
a me era venuta in mente questa dimostrazione:
prendo una sezione di R (A,B);
prendo un elemento di A e un elemento di B a caso; se uno dei due è elemento separatore ho finito senno procedo per bisezione.. a questo punto o ottengo un elemento separatore in un numero finito di iterazioni o costruisco due successioni an e bn; è facile verificare che sono entrambe monotone e di cauchy; a questo punto uso l' ipotesi che ogni successione di cauchy converge, quindi entrambe convergono ad uno stesso numero reale ed è facile dimostrare che questo ha le propietà dell' elemento separatore.
ora poichè nei libri viene sempre detto che la cauchy completezza implica la dedekind completezza con l' aggiuntiva ipotesi archimedea mi chiedevo se effettivamente questa è necessaria e nel caso dov' è l' errore della dimostrazione che ho scritto... grazie mille a tutti!!
Dovrei pensarci (ma forse c'è qualcuno in grado di rispondere subito).
A occhio direi che, senza proprietà archimedea, non vale la seguente proprietà che siamo abituati ad usare meccanicamente:
\[
0\leq a < \epsilon \quad \forall \epsilon > 0\qquad\Longrightarrow\qquad a = 0,
\]
e senza questa proprietà non sono certo che tu riesca a dimostrare che le due successioni convergono allo stesso limite.
A occhio direi che, senza proprietà archimedea, non vale la seguente proprietà che siamo abituati ad usare meccanicamente:
\[
0\leq a < \epsilon \quad \forall \epsilon > 0\qquad\Longrightarrow\qquad a = 0,
\]
e senza questa proprietà non sono certo che tu riesca a dimostrare che le due successioni convergono allo stesso limite.
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