Numeri razionali
Dimostrare che se il prodotto e la somma dei reciproci di due numeri è dispari allora i due numeri non sono razionali
Risposte
Siano, per assurdo, $a$,$b in QQ$. Pertanto essi si possono scrivere come rapporto di numeri interi, dunque:
$a=p_1/q_1$ e $b=p_2/q_2$
con $p_1,q_1$ e $p_2,q_2$ coprimi tra loro (è noto che si può supporre così... Diremo che essi sono "ridotti ai minimi termini"...)
quindi, dalle ipotesi:
$n=1/a*1/b=(q_1*q_2)/(p_1*p_2)$ e $m=1/a+1/b= (p_2*q_1+p_1*q_2)/(p_1*p_2)$ sono dispari (e quindi interi).
Poichè i fattori sono primi tra loro, lo saranno anche i termini $q_1*q_2$ e $p_1*p_2$. Quindi se uno è pari, l'altro è dispari.
Se fosse pari il denominatore, avremmo $n$ non intero, assurdo. Se fosse pari in numeratore, s'avrebbe che pure $n$ è pari, assurdo.
Quindi ambo i termini sono dispari, come pure i vari $p_1,q_1,p_2,q_2$ (a questo punto lo si deduce immediatamente). Allora il termine $p_2q_1+p_1q_2$ è pari (somma di addendi dispari...). Quindi $m$, che è intero per ipotesi, è pari. Assurdo.
Perciò i due numeri sono irrazionali.
$a=p_1/q_1$ e $b=p_2/q_2$
con $p_1,q_1$ e $p_2,q_2$ coprimi tra loro (è noto che si può supporre così... Diremo che essi sono "ridotti ai minimi termini"...)
quindi, dalle ipotesi:
$n=1/a*1/b=(q_1*q_2)/(p_1*p_2)$ e $m=1/a+1/b= (p_2*q_1+p_1*q_2)/(p_1*p_2)$ sono dispari (e quindi interi).
Poichè i fattori sono primi tra loro, lo saranno anche i termini $q_1*q_2$ e $p_1*p_2$. Quindi se uno è pari, l'altro è dispari.
Se fosse pari il denominatore, avremmo $n$ non intero, assurdo. Se fosse pari in numeratore, s'avrebbe che pure $n$ è pari, assurdo.
Quindi ambo i termini sono dispari, come pure i vari $p_1,q_1,p_2,q_2$ (a questo punto lo si deduce immediatamente). Allora il termine $p_2q_1+p_1q_2$ è pari (somma di addendi dispari...). Quindi $m$, che è intero per ipotesi, è pari. Assurdo.
Perciò i due numeri sono irrazionali.
"Dorian":
Poichè i fattori sono primi tra loro, lo saranno anche i termini $q_1*q_2$ e $p_1*p_2$.
$q_1$può essere diviso per $p_2$ma anche $q_2$per $p_1$
Hai ragione. Ciò che ho detto non è vero a priori. Però la dimostrazione scorre lo stesso. Se sono pari, il fattore $2$ si semplifica e si ritorna al terzo caso, quello in cui numeratore e denominatore sono ambedue dispari. Ti torna?
Ciao!
Io direi così: basta mostrare che se la somma e il prodotto di due reali sono interi dispari, allora i due reali non sono razionali. Infatti mostrato questo basta applicarlo ai reciproci dei numeri considerati in partenza.
(*) Comincio col notare che due interi A e B sono tali che almeno uno tra AB e A+B è pari. Infatti se A+B è dispari allora almeno uno tra A e B è pari, quindi il loro prodotto è pari.
Prendiamo ora due razionali $a/b$, $c/d$ con $a,b,c,d \ne 0$ interi e $MCD(a,b)=MCD(c,d)=1$ (a meno di semplificare i fattori comuni), e supponiamo che $a/b c/d = n$ e $a/b+c/d=m$ siano interi dispari. Dalla prima equazione ricavo $a/b = (nd)/c$, e sostituendo nella seconda $(nd)/c+c/d=m$, quindi $nd^2+c^2=mcd$. Quindi $nd^2=c(c-md)$. In particolare c divide $nd^2$, quindi divide n, dato che MCD(c,d)=1. Diciamo $cx=n$, con x intero opportuno. Ma allora $cx = n = a/b c/d$, e quindi $a=bdx$. In particolare $a/b = dx$ è un intero.
Dato che il problema è simmetrico, posso fare lo stesso ragionamento con le altre variabili e ricavare che pure $c/d$ è intero (cominciando a scrivere $c/d=(nb)/a$, ecc.). Allora $A=a/b$ e $B=c/d$ sono interi. Ma questo è assurdo per via di (*).
Io direi così: basta mostrare che se la somma e il prodotto di due reali sono interi dispari, allora i due reali non sono razionali. Infatti mostrato questo basta applicarlo ai reciproci dei numeri considerati in partenza.
(*) Comincio col notare che due interi A e B sono tali che almeno uno tra AB e A+B è pari. Infatti se A+B è dispari allora almeno uno tra A e B è pari, quindi il loro prodotto è pari.
Prendiamo ora due razionali $a/b$, $c/d$ con $a,b,c,d \ne 0$ interi e $MCD(a,b)=MCD(c,d)=1$ (a meno di semplificare i fattori comuni), e supponiamo che $a/b c/d = n$ e $a/b+c/d=m$ siano interi dispari. Dalla prima equazione ricavo $a/b = (nd)/c$, e sostituendo nella seconda $(nd)/c+c/d=m$, quindi $nd^2+c^2=mcd$. Quindi $nd^2=c(c-md)$. In particolare c divide $nd^2$, quindi divide n, dato che MCD(c,d)=1. Diciamo $cx=n$, con x intero opportuno. Ma allora $cx = n = a/b c/d$, e quindi $a=bdx$. In particolare $a/b = dx$ è un intero.
Dato che il problema è simmetrico, posso fare lo stesso ragionamento con le altre variabili e ricavare che pure $c/d$ è intero (cominciando a scrivere $c/d=(nb)/a$, ecc.). Allora $A=a/b$ e $B=c/d$ sono interi. Ma questo è assurdo per via di (*).
L'affermazione precedente è equivalente all'affermazione:
"le soluzioni di un equazione di secondo grado con coefficienti tutti dispari non sono razionali"
"le soluzioni di un equazione di secondo grado con coefficienti tutti dispari non sono razionali"
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