Numeri Primi
E' possibile in qualche modo, dato un numero primo qualsiasi, determinare quale sia la possibilità di trovare un'altro primo aggiungendo 2 al numero dato?
spiegato meglio:
dato un primo N qual'è la possibilità che N+2 sia primo?
spiegato meglio:
dato un primo N qual'è la possibilità che N+2 sia primo?
Risposte
Le coppie di numeri primi p e q con p>2 e tali che q=p+2 sono note come 'primi gemelli'. Una risposta esaudiente alla tua domanda richiede un esame molto attento, una cosa pero' si puo' dire subito: per tutti i primi gemelli esiste un $n \in \mathbb{N}$ per cui e' ...
$p= 6\ n -1,\ q=6\ n+1$ (1)
Questo non e' molto certo... pero' e' gia' qualcosa... in ogni caso un quesito assai interessante...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$p= 6\ n -1,\ q=6\ n+1$ (1)
Questo non e' molto certo... pero' e' gia' qualcosa... in ogni caso un quesito assai interessante...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
"chisigma":
$p= 6\ n -1,\ q=6\ n+1$ (1)
$\chi$ $\sigma$
Non mi era nota questa cosa ma a proposito di "6" tempo fa avevo trovato una strana "coincidenza" con una sezione di primi:
5 + 7 = 12 |
7 +11 = 18 |
11+13 = 24 | multipli di 6 in
13+17 = 30 | sequenza
17+19 = 36 |
19+23 = 42 |
non centra nulla con la mia prima domanda ma qualcuno sa se questa è solo una coincidenza o esiste una spiegazione logica?
"gianpierovignola":
[quote="chisigma"]
$p= 6\ n -1,\ q=6\ n+1$ (1)
$\chi$ $\sigma$
Non mi era nota questa cosa ma a proposito di "6"[/quote]
viewtopic.php?f=47&t=107067
"gianpierovignola":
tempo fa avevo trovato una strana "coincidenza" con una sezione di primi:
5 + 7 = 12 |
7 +11 = 18 |
11+13 = 24 | multipli di 6 in
13+17 = 30 | sequenza
17+19 = 36 |
19+23 = 42 |
non centra nulla con la mia prima domanda ma qualcuno sa se questa è solo una coincidenza o esiste una spiegazione logica?
I multipli di 6 sono numeri pari. Dunque - se fosse vera la congettura di Goldbach - una tale "coincidenza" sussisterebbe sempre.
Fino ad ora non si è né dimostrata né smentita e con i calcoli si è andati tanto in là, quindi la tua coincidenza dovrebbe tenere ancora per molto. Se, però, tu intendi questo fatto
"primo + primo successivo = multiplo di 6"
questa è una coincidenza, prendi ad esempio$23+29=52$ che è il successivo ai calcoli fatti da te.
Comunque, per il fatto che un primo è della forma $6k +- 1$, è anche abbastanza plausibile vedere che se 2 primi sono sommati insieme danno un multiplo di sei. Basta che uno sia della forma $6k+1$ e l'altro $6n-1$ (o viceversa) in modo che sommati insieme danno $6(k+n)$ che è multiplo di $6$ (suppongo $k,n\ge1$ interi).
Ma questo vuol dire che 6k+1 o 6k-1 è un numero primo qualsiasi sia k??
"gianpierovignola":
Ma questo vuol dire che 6k+1 o 6k-1 è un numero primo qualsiasi sia k??
No e lo vedi subito prendendo, ad esempio, $k=4$ (poiché $6k+1=25=5^2$).
Questo non vuol dire che ogni $6k+-1$ è primo, ma vuol dire che se un numero è primo è della forma $6k+-1$ eccezion fatta per 2 e 3 che sono gli unici primi non di quella forma.
In pratica
- se $p$ è un primo differente da 2 e 3, $p$ è della forma $6k+1$ o $6k-1$
- se $k$ è intero, non è detto che $6k+1$ o $6k-1$ sia primo.
Per la seconda, magari puoi dire "però può darsi che almeno uno dei due tra $6k+1$ e $6k-1$ sia primo", in realtà non è detto neanche questo perché, ad es., per $k=20$
- $6k+1=121=11^2$
- $6k-1=119=7\cdot 17$.
ok capito,
per quanto riguarda la mia prima richiesta, invece, non intendevo entrare nel discorso dei primi gemelli ma volevo soltanto sapere se esiste un modo , dato un numero primo, con il quale poterci calcolare la probabilità di trovare un primo andando avanti nel conteggio.
Ad esempio :
dato un primo P esiste 1 probabilità su 8 che P+2 sia primo oppure 1 probabilità su 5, ecc.
per quanto riguarda la mia prima richiesta, invece, non intendevo entrare nel discorso dei primi gemelli ma volevo soltanto sapere se esiste un modo , dato un numero primo, con il quale poterci calcolare la probabilità di trovare un primo andando avanti nel conteggio.
Ad esempio :
dato un primo P esiste 1 probabilità su 8 che P+2 sia primo oppure 1 probabilità su 5, ecc.
Tornando al quesito iniziale, consiglio a tutti la lettura di cosa dice 'Monster Wolfram' a proposito dei primi gemelli...
http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html
Tra le varie curiosita' ivi riportate assai suggestiva e' la approssimazione della funzione $\pi_{2}(x)$, ossia il numero di primi gemelli p, p+2 tali che $p \le x$...
$\pi_{2}(x) \approx c\ \frac{x}{\ln^{2} x}$ (1)
... che ricorda la formula approssimata della funzione $\pi(x)$, ossia il numero di primi $p \le x$, che Gauss ha ipotizzato quando aveva 15 anni...
$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}$ (2)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html
Tra le varie curiosita' ivi riportate assai suggestiva e' la approssimazione della funzione $\pi_{2}(x)$, ossia il numero di primi gemelli p, p+2 tali che $p \le x$...
$\pi_{2}(x) \approx c\ \frac{x}{\ln^{2} x}$ (1)
... che ricorda la formula approssimata della funzione $\pi(x)$, ossia il numero di primi $p \le x$, che Gauss ha ipotizzato quando aveva 15 anni...
$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}$ (2)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
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