Numeri naturali
4 non divide $n^2 +2$
Come fare una dimostrazione esaustiva sulla veridicità o falsità di tale affermazione?!
Come fare una dimostrazione esaustiva sulla veridicità o falsità di tale affermazione?!
Risposte
L'affermazione è vera. Per dimostrarla basta distinguere due casi: $n$ pari e $n$ dispari.
Se $n$ è pari, $n^2$ è divisibile per $4$. Dunque $n^2+2$ non è divisibile per $4$.
Se $n$ è dispari, $n^2$ è dispari, dunque $n^2+2$ è ancora dispari, quindi non divisibile per $4$.
Se $n$ è pari, $n^2$ è divisibile per $4$. Dunque $n^2+2$ non è divisibile per $4$.
Se $n$ è dispari, $n^2$ è dispari, dunque $n^2+2$ è ancora dispari, quindi non divisibile per $4$.
oppure.
per induzione: verifico per n=2 e n=3, poi:
$(n+2)^2+2=n^2+4n+4+2=(n^2+2)+(4n+4)$ ora, per assurdo, sia questo un multiplo di 4. dato che $4n+4$ è anch'esso multiplo di 4, si deve avere che anche $n^2+2$ sia multiplo di 4. assurdo.
per induzione: verifico per n=2 e n=3, poi:
$(n+2)^2+2=n^2+4n+4+2=(n^2+2)+(4n+4)$ ora, per assurdo, sia questo un multiplo di 4. dato che $4n+4$ è anch'esso multiplo di 4, si deve avere che anche $n^2+2$ sia multiplo di 4. assurdo.
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