Numeri irrazionali

[AleAnt1]

come faccio a dimostrare per bene che la radice di 3 è un numero irrazionale?

[eugenio.amitrano]

che non appartiene al campo dei numeri razionali....ossia che non è possibile esprimerlo come $m/n$ con $n,m in Z$.
Se non sbaglio c'era una dimostrazione nei tempi di Analisi I (Non completezza di Q) che utilizzava $sqrt(2)$, forse si può usare la stessa......

[adrenalinico]

se nn ricordo male devi dimostrare che puoi avvicinarti indefinitamente da destra e da sinistra al valore di rad3 con numeri razionali, senza che i due insiemi abbiano un elemento di congiunzuione. Ma come si fa...boh!

[fu^2]

una strada facile è la dimostrazione per assurdo.

per assurdo ipotizzi che $sqrt3$ sia razionale,
allora esistono m,n interi relativi ($m,n\inZZ$) tali che $MCD(m,n)=1$.
Quindi

$sqrt3=m/n->3n^2=m^2->n^2=m^2/3$

quindi $m^2/3$ deve dare resto zero, quindi m^2 è divisibile per tre, di conseguenza anche m.
quindi se m è divisibile per tre, m^2 sarà almeno una potenza di $3^n$ con $n>=2$.
quindi $m=3k->m^2=9k^2$ con $kinQQ$

da qui otteniamo che $n^2=3k^2$ quindi anche n è divisibile per tre.
$MCD(m,n)!=1$ assurdo.


con questo metodo generalizzi che $p^(1/k)$ con p primo e k intero è irrazionale, e anche la somma di due radici di primi è ancora un irrazionale.

[AleAnt1]

grazie a tutti