Numeri complessi $z^3-|z|=0$

[alsfigato]

Buonasera a tutti, magari questo è un problemino banale però
sono alle prime armi con i numeri complessi. Dunque ho un problemino: $z^3-|z|=0$
ho fatto:
1)$z^3-z=0$ dove $z>=0$ e quindi $z=0 z=1$
però dopo non so come procedere... plz aiuto, datemi qualche dritta.

[walter891]

Ciao, coi numeri complessi non ha senso quello che hai fatto, ti ricordo che il modulo di un numero complesso si calcola con la formula $|z|=sqrt(a^2+b^2)$ con $z=a+ib$

[blackbishop13]

specifico quanto già detto da walter89.

le soluzioni $z=0$ e $z=1$ sono corrette perchè in effetti questi due numeri sono dei numeri complessi, e verificano l'equazione.

però per trovare anche la terza soluzione, devi utilizzare appuntio i metodi noti per i numeri complessi

[alsfigato]

Appunto non so come procedere, cioè trovare le soluzioni in forma trigonometrica. Datemi qualche suggerimento per favore.

[walter891]

se devi usare la forma trigonometrica allora poni $z=rho(cos(theta)+isen(theta))$ dove $rho$ è il modulo del numero complesso e $theta=atan(b/a)$ è l'argomento

devi risolvere quindi questa equazione ricordandoti come si fanno gli elevamenti a potenza in forma trigonometrica: $rho^3(cos(3theta)+isen(3theta))-rho=0$

[clrscr]

Una piccola osservazione @ alsfigato....nella tua risoluzione dell'equazione hai scritto $z>0$...il che non ha senso in quanto nel campo complesso non c'è una relazione d'ordine che permette di affermare che $z1
Ciao ciao

[alsfigato]

@ clrscr: ho posto $z>=0$ per togliere il modulo e dunque mi permette di scartare soluzione come $z=-1$

@walter89: mentre aspettavo una risposta sono arrivato a quel punto e mi sono fermato. Ho fatto anche: 1) ho raccolto $p$ che mi da $p(p^2(cos(3alpha)+i sin(3alpha)-1)$ quindi 2)$p(p(cos(3alpha)+i sin(3alpha)-1)(p(cos(3alpha)+isin(3alpha)+1)=0$ dove si vedono 2 sol: p=0 e 1(che in teoria conferma le soluzioni delle z), ovviamente se i passaggi sono giusti... sono fermo di nuovo ma nel frattempo continuo a ragionare però una mano non darebbe fastidio, grazie...

[blackbishop13]

"alsfigato":ho posto $z>=0$ per togliere il modulo e dunque mi permette di scartare soluzione come $z=-1$

occhio questo commento lascia supporre che hai fatto almeno tre errori molto gravi:

1. come dice clrscr no esiste un ordinamento sui complessi, quindi non ha senso dire che un complesso è maggiore di un altro.
ovvero se $z in CC$ non puoi porre, in generale, $z>0$.

2. puoi farlo se $z in RR$ ma in questo caso sarebbe sbagliato comunque!
se tu hai un'equazione del tipo $x^3+|x|=0$ non puoi risolverla dicendo: pongo $x>=0$ così tolgo il modulo, in generale è un errore perchè perdi diverse soluzioni! semmai puoi distinguere due casi, quando $x>=0$ e $x<0$.
perciò se dici che poni $z>=0$ per togliere una eventuale radice negativa che secondo te non va bene, è un brutto errore.

3. quello meno rilevante, $z=-1$ non è comunque soluzione, fai il conto

[alsfigato]

@blackbishop13: hai ragione... 3. volevo dire che non considero nemmeno soluzione come z=-1
ragazzi sono molto confuso, aiutoooo. A questo punto qualcuno mi può scrivere la risoluzione dell'equazione passaggio per passaggio e magari anche lasicare qualche commento a quello che fa tra le righe per illuminarmi nella mia ignoranza matematica... Grazie