Numeri complessi -uguali- in notazione polare

giulioa1
Ragazzi, è il mio secondo giorno su questo forum e è già la seconda domanda.
Ho iniziato da poco l'università e così mi sorgono già i primi dubbi a lezione.

In questo caso mi chiedevo una cosa che è sicuramente una sciocchezza, ma non riesco a uscirne concettualmente.
Il professore spiegando i numeri complessi ha detto che due numeri complessi "z,w" sono uguali - se espressi i n forma trigonometrica - quando:
# ρ=ρ'
#θ=ϕ+2kπ
Quello che non mi torna è il 2kπ, questo perché
-se fissiamo un intervallo da 0 a 2π i due numeri complessi z e w potranno avere angoli che "corrono" solo da 0 a 2π quindi perché stare a inserire la periodicità ad uno dei due?
-se assumiamo che ad ogni angolo sono associati in modo non biunivoco tutti i numeri reali (con distanza 2π dal successivo) allora dovrei avere l'uguaglianza: θ+2kπ=ϕ+2kπ, perché entrambi variano in modo periodico ogni 2π (non solo uno di essi).
Non capisco dove sbaglio di concetto.

Grazie per le vostre gentili e pazienti risposte. :))

Risposte
otta96
"giulioa":
-se fissiamo un intervallo da 0 a 2π i due numeri complessi z e w potranno avere angoli che "corrono" solo da 0 a 2π quindi perché stare a inserire la periodicità ad uno dei due?

Giusto, ma evidentemente in quel momento il professore non stava limitando l'angolo tra $0$ e $2pi$.

-se assumiamo che ad ogni angolo sono associati in modo non biunivoco tutti i numeri reali (con distanza 2π dal successivo) allora dovrei avere l'uguaglianza: θ+2kπ=ϕ+2kπ, perché entrambi variano in modo periodico ogni 2π (non solo uno di essi).

Sostanzialmente te vuoi dire che $\theta$ e $\phi$ sono uguali come angoli, quindi o sono veramente uguali o uno dei due si può ottenere dall'altro aggiungendo (o sottraendo) un numero naturale di volte l'angolo giro, cioè $2pi$.
Quindi si può scrivere $EEk\inZZ|\theta=\phi+2kpi$, mettere il $k$ da entrambe le parti non ha senso perché così stai dicendo che $\theta=\phi$, cosa che non è necessariamente vero. Potresti chiederti se abbia senso allora mettere questa condizione: $EEk_1,k_2\inZZ|\theta+2k_1pi=\phi+2k_2pi$, questa ha senso, ma non è più generale di quella si prima se ci pensi, quindi si usa l'altra perché è più semplice.

giulioa1
Chiarissimo e celerissimo, grazie :-)

Sì,non avevo differenziato il K e K' ma hai pienamente ragione, hai capito quel che intendevo anche se come al solito mi son spiegato male, complimenti per l'esaustività.
A ben vedere, però, mi pare che mettere il K da una sola parte $EEk\inZZ|\theta=\phi+2kpi$ limiti, nel senso che nel membro a sinistra avrei un θ fisso, quello con due K differenti $EEk_1,k_2\inZZ|\theta+2k_1pi=\phi+2k_2pi$ mi dice che sto considerando anche tutti i valori del reticolo di angoli corrispondenti a θ+2Kπ e non solo θ fisso tra 0 e 2π.

Grazie davvero e
Buon we.

otta96
In effetti in linea di principio può sembrare una limitazione, ma se ci pensi, se hai che $EEk_1,k_2\inZZ|\theta+2k_1pi=\phi+2k_2pi$, puoi dire che preso $k=k_2-k_1$ hai che $\theta=\phi+2kpi$, quindi come vedi in realtà non è una limitazione far variare solo un k.

giulioa1
Ecco cosa mi mancava, ora mi torna.

Magari riesci anche a darmi una mano sul radicale di un complesso, prometto che è l'ultima domanda XD
In realtà tutti i dubbi precedenti nascono proprio da li...
In sostanza sugli appunti digitali trovo, però sebbene abbia ora capito il perche metta θ=ϕ+2kπ, non capisco perché questo non valga anche nell'elevamento, faccio un esempio: elevando un complesso "z" dovrei avere parimenti θ'=(ϕ'+2kπ)*n.Invece in quel caso si tiene ϕ' fissato in un range e si mette solo ϕ'n. Mi sembra si usi il 2kπ in modo ambivalente per far tornare il discorso radici "n".

Buona serata.

otta96
Non ho capito il tuo dubbio, in sostanza negli appunti applica quello che abbiamo detto finora all'uguaglianza $e^(ni\theta)=e^(i\phi)$ ottenendo $EEk\inZZ:n\theta=\phi+2kpi$, poi fa dei passaggi puramente algebrici.

giulioa1
Ciao, scusa se rispondo ora ma avevo il pc ko.

In parole povere ilmio dubbio è questo: quando fa la radice n-esimadi un numero va a considerare θ=ϕ+2kπ, da cui, dividendo per n theta esce che è uguale a (ϕ+2kπ)/n
Bene,questo perché in effetti considera tutti i possibili valori che può assumere theta,a meno della sua periodicità,eci sta.
Ma perché quando si eleva a potenza non si dice: θ'=(ϕ'+2kπ)*n ma dice semplicemente:elevare a potenza è moltiplicare θ'*n (ma perché non svolge l'operazione su tutti gli angoli a meno della periodicità in questo caso?)
Tratta cioè θ' in modo diverso che da θ.

Ecco il dubbio :D

otta96
Tieni presente che anche se facesse come dici te non cambierebbe nulla, perché avresti all'esponente un termine aggiuntivo uguale a $2knpi$, che, essendo n intero, è un multiplo del periodo, quindi non dà alcun tipo di contributo.
La questione si riconduce sostanzialmente al fatto che elevare a potenza è una funzione non iniettiva, quindi quando bisogna farne delle retroimmagini sbucano fuori più valori, ma quando bisogna calcolarla non c'è questa ambiguità perché per l'appunto è una funzione.

giulioa1
"otta96":
La questione si riconduce sostanzialmente al fatto che elevare a potenza è una funzione non iniettiva, quindi quando bisogna farne delle retroimmagini sbucano fuori più valori, ma quando bisogna calcolarla non c'è questa ambiguità perché per l'appunto è una funzione.


Hai centrato il punto, era questa interpretazione a cui non pensavo. Non è iniettiva.
Grazie mille per avermi chiarito il dubbione!
:)

otta96
Prego, e non esitare a chiedere in caso di altri dubbi :smt023

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.