Numeri complessi part 2

[rodrigoruiz1]

Buongiorno, avrei questo esercizio sui numeri complessi del quale non ho la minima idea di come cominciare:

(z-2+2i)^4=-81

mi chiede di calcolare le soluzioni e rappresentarle nel piano di Gauss.

Grazie ancora

[carlogiannini]

[math](z-2+2i)^4=-81\\\pm (z-2+2i)=\pm 3i\\1)\ \ +z-2+2i=+3i\\2)\ \ +z-2+2i=-3i\\3)\ \ -z+2-2i=+3i\\4)\ \ -z+2-2i=-3i\\[/math]

.
.

[math]z_1=z_4=2+i\\z_2=z_3=2-5i\\[/math]

[rodrigoruiz1]

ah allora avevo avuto la giusta intuizione nel togliere le potenze.. solo che non avrei messo il +- quindi mi sarebbe venuto solo un risultato.. grazie!!

[Studente Anonimo]

Spiace ma devo riaprire il topic: la risposta fornita è errata.

Data la seguente equazione complessa:

[math](z - 2 + 2\text{i})^4 = - 81 \; , \\[/math]

molto semplicemente, segue che:

[math]\small \begin{aligned}

& z_1 - 2 + 2\text{i} = \sqrt[4]{|-81|}\left[ \cos\left(\frac{\pi + 2\cdot 0 \cdot \pi}{4}\right) +\text{i}\sin\left(\frac{\pi + 2\cdot 0 \cdot \pi}{4}\right)\right] \; ; \\

& z_2 - 2 + 2\text{i} = \sqrt[4]{|-81|}\left[ \cos\left(\frac{\pi + 2\cdot 1 \cdot \pi}{4}\right) +\text{i}\sin\left(\frac{\pi + 2\cdot 1 \cdot \pi}{4}\right)\right] \; ; \\

& z_3 - 2 + 2\text{i} = \sqrt[4]{|-81|}\left[ \cos\left(\frac{\pi + 2\cdot 2 \cdot \pi}{4}\right) +\text{i}\sin\left(\frac{\pi + 2\cdot 2 \cdot \pi}{4}\right)\right] \; ; \\

& z_4 - 2 + 2\text{i} = \sqrt[4]{|-81|}\left[ \cos\left(\frac{\pi + 2\cdot 3 \cdot \pi}{4}\right) +\text{i}\sin\left(\frac{\pi + 2\cdot 3 \cdot \pi}{4}\right)\right] \; ;

\end{aligned}\\[/math]

ossia:

[math]\begin{aligned}

& z_1 = \left(\frac{3}{\sqrt{2}} + 2\right) + \text{i}\left(\frac{3}{\sqrt{2}} - 2\right) \approx 4.121 + 0.121\,\text{i} \; ; \\

& z_2 = \left(2 - \frac{3}{\sqrt{2}}\right) + \text{i}\left(\frac{3}{\sqrt{2}} - 2\right) \approx - 0.121 + 0.121\,\text{i} \; ; \\

& z_3 = \left(2 - \frac{3}{\sqrt{2}}\right) - \text{i}\left(\frac{3}{\sqrt{2}} + 2\right) \approx - 0.121 - 4.121\,\text{i} \; ; \\

& z_4 = \left(\frac{3}{\sqrt{2}} + 2\right) - \text{i}\left(\frac{3}{\sqrt{2}} + 2\right) \approx 4.121 - 4.121\,\text{i} \; .

\end{aligned}\\[/math]

Invito entrambi alla lettura di questa paginetta. ;)

[carlogiannini]

Ringrazio TeM e chiedo scusa a ridrigoruiz1