Numeri complessi in fondamenti di automatica
Buongiorno, non so se sia la sezione giusta essendo la domanda incentrata su un concetto di Automatica(essendo però i numeri complessi a farmi incartare, pubblico qui).
Io ho una funzione di trasferimento L(S)= $ \frac{50}{(1+0.1s)(1+s)(1+10s)s} $ corretta.
Ciò che mi serve attualmente è trovare la pulsazione critica $\omega_c$, calcolabile trasformando la S in $j \omega_c$ nella L(S)(quindi diventa L($ j\omega_c $) ed eseguendo
$|L(j\omega_c)|=1$
Ciò teoricamente non dovrebbe essere un problema, trasformo, faccio il modulo dei complessi e calcolo la variabile. Ciò però mi sta creando gravi problemi e non ne capisco il motivo. Nemmeno con la calcolatrice riesco ad ottenere il risultato corretto:
Puntino rosso nella scala semilogaritmica.
Stesso problema ce l'ho ovviamente calcolando il margine di fase $\varphi_c = arg(L(j\omega_c))$.
Probabilmente ciò che sto sbagliando è un errore molto stupido e pure grave ma attualmente non ne riesco ad uscire.
Grazie in anticipo
Io ho una funzione di trasferimento L(S)= $ \frac{50}{(1+0.1s)(1+s)(1+10s)s} $ corretta.
Ciò che mi serve attualmente è trovare la pulsazione critica $\omega_c$, calcolabile trasformando la S in $j \omega_c$ nella L(S)(quindi diventa L($ j\omega_c $) ed eseguendo
$|L(j\omega_c)|=1$
Ciò teoricamente non dovrebbe essere un problema, trasformo, faccio il modulo dei complessi e calcolo la variabile. Ciò però mi sta creando gravi problemi e non ne capisco il motivo. Nemmeno con la calcolatrice riesco ad ottenere il risultato corretto:
Puntino rosso nella scala semilogaritmica.Stesso problema ce l'ho ovviamente calcolando il margine di fase $\varphi_c = arg(L(j\omega_c))$.
Probabilmente ciò che sto sbagliando è un errore molto stupido e pure grave ma attualmente non ne riesco ad uscire.
Grazie in anticipo
Risposte
Un tema più da Ingegneria che Analisi, comunque poichè il modulo di un rapporto o di un prodotto di numeri complessi è uguale al rapporto o al prodotto dei rispettivi moduli, determinare analiticamente la pulsazione critica significa risolvere
$50/(sqrt(1+(0.1*omega)^2)*sqrt(1+omega^2)*sqrt(1+(10*omega)^2)*omega)=1$
ovviamente per una risoluzione esatta conviene risolvere numericamente, ma per una soluzione approssimata più semplice si vede da Bode che il taglio è prossimo a 1 per cui
$sqrt(1+(0.1*omega)^2) approx 1$
$sqrt(1+(10*omega)^2) approx 10 omega$
per cui l'equazione diventa:
$5/(sqrt(1+omega^2)*omega^2)=1$
che dopo qualche tentativo fornisce $omega_c approx 1.62$
L'equazione completa avrebbe fornito invece
$omega_c approx 1.612$
poco diversa dalla soluzione dell'equazione approssimata.
Quanto al margine di fase avendo la pulsazione critica puoi facilmente calcolare le fasi di ciascun termine e quindi tenendo conto che le fasi di un prodotto si sommano e che la fase di un numero complesso posto al denominatore cambia segno dovresti trovare la fase complessiva. In particolare in modo approssimato dal diagramma di Bode della fase dovrebbe venirti circa $varphi_c approx-240°$.
Nota: il margine di fase è definito come $180° + varphi_c$
$50/(sqrt(1+(0.1*omega)^2)*sqrt(1+omega^2)*sqrt(1+(10*omega)^2)*omega)=1$
ovviamente per una risoluzione esatta conviene risolvere numericamente, ma per una soluzione approssimata più semplice si vede da Bode che il taglio è prossimo a 1 per cui
$sqrt(1+(0.1*omega)^2) approx 1$
$sqrt(1+(10*omega)^2) approx 10 omega$
per cui l'equazione diventa:
$5/(sqrt(1+omega^2)*omega^2)=1$
che dopo qualche tentativo fornisce $omega_c approx 1.62$
L'equazione completa avrebbe fornito invece
$omega_c approx 1.612$
poco diversa dalla soluzione dell'equazione approssimata.
Quanto al margine di fase avendo la pulsazione critica puoi facilmente calcolare le fasi di ciascun termine e quindi tenendo conto che le fasi di un prodotto si sommano e che la fase di un numero complesso posto al denominatore cambia segno dovresti trovare la fase complessiva. In particolare in modo approssimato dal diagramma di Bode della fase dovrebbe venirti circa $varphi_c approx-240°$.
Nota: il margine di fase è definito come $180° + varphi_c$
Avendo anche la calcolatrice disponibile, sarebbe possibile spiegarmi la soluzione matematica senza approssimazioni?
In questo modo non rischio di sbagliare le specifiche di progetto
In questo modo non rischio di sbagliare le specifiche di progetto
Di solito è sufficiente prendere il valore approssimato che scaturisce dai diagrammi di Bode per risolvere i problemi.
Comunque se si prende l'equazione completa, si eleva al quadrato e si pone $x=omega^2$ si può riscrivere l'equazione in questo modo
$G=(1+0.01*x)(1+x)(1+100*x)*x -2500 =0$
E' un'equazione di quarto grado che puoi inserire su wolfram e farti calcolare la soluzione. Se vuoi fare tutto a mano puoi anche cercare le formule per risolvere analiticamente, ma ti consiglio di andare comunque per via numerica.
Usando banalmente bisezione (partendo da $omega = 1.4$ e $omega=1.8$) si ottiene con pochi passi $omega = 1.611719$
Quindi poi basta rifinire il numero con qualche tentativo per arrivare a $omega_c = 1.611692$.
Ovviamente usando Newton-Raphson si fanno meno iterazioni.
Per quanto riguarda la fase si avrà
$varphi_c=arg(L(j omega_c)) = - (arctg(0.01*omega_c) + arctg(omega_c) + arctg(10*omega_c) + 90°)=$
$=-(9.16+58.18+86.45+90) = -243.79 °$
Comunque se si prende l'equazione completa, si eleva al quadrato e si pone $x=omega^2$ si può riscrivere l'equazione in questo modo
$G=(1+0.01*x)(1+x)(1+100*x)*x -2500 =0$
E' un'equazione di quarto grado che puoi inserire su wolfram e farti calcolare la soluzione. Se vuoi fare tutto a mano puoi anche cercare le formule per risolvere analiticamente, ma ti consiglio di andare comunque per via numerica.
Usando banalmente bisezione (partendo da $omega = 1.4$ e $omega=1.8$) si ottiene con pochi passi $omega = 1.611719$
Quindi poi basta rifinire il numero con qualche tentativo per arrivare a $omega_c = 1.611692$.
Ovviamente usando Newton-Raphson si fanno meno iterazioni.
Per quanto riguarda la fase si avrà
$varphi_c=arg(L(j omega_c)) = - (arctg(0.01*omega_c) + arctg(omega_c) + arctg(10*omega_c) + 90°)=$
$=-(9.16+58.18+86.45+90) = -243.79 °$
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