Numeri complessi - Formula di DeMoivre

[rudric]

Ciao a tutti,
secondo voi come ha ragionato deMoivre per capire la famosa formula per calcolare la potenza n-esima di un numero complesso?
Perchè l'angolo del numero in una rappresentazione polare raddoppia se elevo al quadrato secondo voi?
La dimostrazione per induzione non mi permette di capire molto sull'intuizione che ha permesso al matematico di ottenere la formula...
Grazie a tutti

[Rigel1]

"rudric":Perchè l'angolo del numero in una rappresentazione polare raddoppia se elevo al quadrato secondo voi?

Perché basta fare il conto usando le formule di duplicazione per seno e coseno.
Se \(z = \rho(\cos\theta + i \sin\theta)\), hai che
\[
z^2= \rho^2 (\cos\theta + i \sin\theta)^2 = \rho^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i \sin\theta\cos\theta)
= \rho^2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta).
\]