Numeri complessi: equivalenza quadrato della somma di 2 moduli
Ho trovato su alcuni appunti sui numeri complessi questa equivalenza:
$(abs abs z+abs abs u)^2=abs abs z^2$ $ +2 abs (Re(z\baru)$+ $abs abs u^2$
Ho difficoltà a capire come il $2abs absz abs abs u$ possa essere equivalente a: $2 abs (Re(z\baru)$
Potete aiutarmi?
Giusto per essere chiaro, il doppio trattino rappresenta il modulo e quello singolo il valore assoluto
$(abs abs z+abs abs u)^2=abs abs z^2$ $ +2 abs (Re(z\baru)$+ $abs abs u^2$
Ho difficoltà a capire come il $2abs absz abs abs u$ possa essere equivalente a: $2 abs (Re(z\baru)$
Potete aiutarmi?
Giusto per essere chiaro, il doppio trattino rappresenta il modulo e quello singolo il valore assoluto
Risposte
A me non sembra vera: se \(z = i\) e \(u = 1\) non viene \(1 = 0\)?
Tutto nasce nel dimostrare questa disuguaglianza triangolare $abs abs (z+u) <= abs abs(z) + abs abs (u)$
Dove:
$abs abs (z+u)^2=(z+u)(\bar(z+u))=(z+u)(\barz+\baru)=abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2Re(z\baru)$
mentre
$(abs abs (z)+abs abs (u))^2=abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2abs(Re(z\baru))$
da cui:
$abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2Re(z\baru)<= abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2abs(Re(z\baru))$
e quindi ecco dimostrata la disuguaglianza triangolare.
$2Re(z\baru)<=2abs(Re(z\baru))$
Questo è ciò che trovo negli appunti ma non mi torna il primo passaggio che ho scritto inizialmente, cioè questo:
$(abs abs (z)+abs abs (u))^2=abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2abs(Re(r\baru))$
Dove:
$abs abs (z+u)^2=(z+u)(\bar(z+u))=(z+u)(\barz+\baru)=abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2Re(z\baru)$
mentre
$(abs abs (z)+abs abs (u))^2=abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2abs(Re(z\baru))$
da cui:
$abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2Re(z\baru)<= abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2abs(Re(z\baru))$
e quindi ecco dimostrata la disuguaglianza triangolare.
$2Re(z\baru)<=2abs(Re(z\baru))$
Questo è ciò che trovo negli appunti ma non mi torna il primo passaggio che ho scritto inizialmente, cioè questo:
$(abs abs (z)+abs abs (u))^2=abs abs (z)^2+abs abs (u)^2+2abs(Re(r\baru))$
A parte che sono comparse delle \(r\) che non si sa cosa siano, probabilmente delle \(z\).
A parte che non c'è bisogno di scrivere "REALE" ma basta scrivere "Re".
Ma hai letto quello che ho scritto??
A parte che non c'è bisogno di scrivere "REALE" ma basta scrivere "Re".
Ma hai letto quello che ho scritto??
"Raptorista":
A parte che sono comparse delle \(r\) che non si sa cosa siano, probabilmente delle \(z\).
A parte che non c'è bisogno di scrivere "REALE" ma basta scrivere "Re".
Ma hai letto quello che ho scritto??
Si, ho notato gli errori e li ho modificati.
Ho scritto tutto il resto perché pensavo fosse utile nel capire se esiste una logica che porta a quella uguaglianza "sospetta".
In effetti anche a me non torna ma non con quei valori che hai indicato, per me è così:
$(1+1)^2=1^2+2*0+1^2$
L'uguaglianza che hai scritto si ottiene coi valori che ho indicato io...
"Raptorista":
L'uguaglianza che hai scritto si ottiene coi valori che ho indicato io...
sinceramente a me sembrerebbe tornare :
$2^2=1+1$ cioè 4=2
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