Numeri complessi e Trasformata di Fourier
Buongiorno
ho qualche dubbio che spero proprio di poter risolvere con il vostro aiuto.
Nel campo dei numeri complessi sappiamo che:
$ siniwx=(e^(iwx)-e^(-iwx))/(2i) $
vorrei sapere se è corretto scrivere poi: $ sin5x=(e^(i5x)-e^(-i5x))/(2i)$
Altro dubbio
Nel caso della trasformata di Fourier, sappiamo che se abbiamo:
$f(w)=F{xu(x-pi)}(w)$
possiamo risolverlo applicando la 1° proprietà di traslazione, come segue:
$f(w)=F{xu(x-pi)-piu(x-pi)+piu(x-pi)}(w)=F{(x-pi)u(x-pi)}+piF{u(x-pi)}(w) $
e quindi applicando la 1à propietà:
$=e^(-piiw)F{xu(x)}(w) +pie^(-piiw)F{u(x)}(w)$
come si può, invece, risolvere:
$f(w)=F{sin5x*u(x-pi)}(w)= ?$
p.s.
ho provato ad inserire le parenttesi mathjax ma sembrano non funzionare, o comunque che qualcosa non sia anadto a buon fine.
Per cui mi scuso per l'eventuale difficoltà di comprensione del testo matematico.
confidando in un vostro aiuto
un cordiale saluto a tutti
Antonio
ho qualche dubbio che spero proprio di poter risolvere con il vostro aiuto.
Nel campo dei numeri complessi sappiamo che:
$ siniwx=(e^(iwx)-e^(-iwx))/(2i) $
vorrei sapere se è corretto scrivere poi: $ sin5x=(e^(i5x)-e^(-i5x))/(2i)$
Altro dubbio
Nel caso della trasformata di Fourier, sappiamo che se abbiamo:
$f(w)=F{xu(x-pi)}(w)$
possiamo risolverlo applicando la 1° proprietà di traslazione, come segue:
$f(w)=F{xu(x-pi)-piu(x-pi)+piu(x-pi)}(w)=F{(x-pi)u(x-pi)}+piF{u(x-pi)}(w) $
e quindi applicando la 1à propietà:
$=e^(-piiw)F{xu(x)}(w) +pie^(-piiw)F{u(x)}(w)$
come si può, invece, risolvere:
$f(w)=F{sin5x*u(x-pi)}(w)= ?$
p.s.
ho provato ad inserire le parenttesi mathjax ma sembrano non funzionare, o comunque che qualcosa non sia anadto a buon fine.
Per cui mi scuso per l'eventuale difficoltà di comprensione del testo matematico.
confidando in un vostro aiuto
un cordiale saluto a tutti
Antonio
Risposte
Ho risolto da me grazie.
Per chi fosse interessato:
$ sin5x=(e^(i5x)-e^(-i5x))/(2i) $
è esatto in quanto:
$(e^(i5x)-e^(-i5x))/(2i)=(cos5x+isin5x-cos5x+isin5x)/(2i)=(2isin5x)/(2i)=sin5x $
per quanto riguarda:
$ f(w)=F{sin5x*u(x-pi)}(w)= ? $
si risolve:
$f(w)=F{sin5x*u(x-pi)}(w)=F{(e^(i5x)-e^(-i5x))/(2i)*u(x-pi)}(w)$ applicando la 2° proprietà di traslazione.
p.s.
Che delusione questo forum.
Per chi fosse interessato:
$ sin5x=(e^(i5x)-e^(-i5x))/(2i) $
è esatto in quanto:
$(e^(i5x)-e^(-i5x))/(2i)=(cos5x+isin5x-cos5x+isin5x)/(2i)=(2isin5x)/(2i)=sin5x $
per quanto riguarda:
$ f(w)=F{sin5x*u(x-pi)}(w)= ? $
si risolve:
$f(w)=F{sin5x*u(x-pi)}(w)=F{(e^(i5x)-e^(-i5x))/(2i)*u(x-pi)}(w)$ applicando la 2° proprietà di traslazione.
p.s.
Che delusione questo forum.
@ timemat: Appena arrivato e già deluso... Beh, grazie: vuol dire che non hai capito lo spirito del forum[nota]Cfr. regolamento, 1.2-1.5.[/nota] e puoi emigrare altrove senza rimpianti (per te e per noi).
Per tornare IT, anche se certamente non ne hai bisogno, noto che questa:
è totalmente sbagliata, in quanto:
\[
\sin z = \frac{e^{\imath\ z} - e^{-\imath\ z}}{2\imath}\; ,
\]
dunque, in particolare, per \(\omega, x\in \mathbb{R}\) è:
\[
\sin (\imath\ \omega\ x) = \frac{e^{-\omega\ x} - e^{\omega\ x}}{2\imath}
\]
ossia
\[
\sin (\imath\ \omega\ x)= \imath\ \sinh (\omega\ x)\; .
\]
Per quanto riguarda l'esercizio sulla TdF (da ciò che posti posso solo indovinare come te l'hanno definita...[nota]Perché saprai certamente che esistono varie definizioni, le quali differiscono per la scelta delle costanti di normalizzazione, no?[/nota]), puoi ragionare molto più semplicemente:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}[\sin 5x\ \operatorname{u}(x-\pi)](\omega) &= \mathcal{F}[\sin (5x-5\pi+5\pi)\ \operatorname{u}(x-\pi)](\omega)\\
&= -\mathcal{F}[\sin (5(x-\pi))\ \operatorname{u}(x-\pi)](\omega)\\
&\stackrel{\text{trasl.}}{=} - e^{-\imath \pi\ \omega}\ \mathcal{F}[\sin 5x\ \operatorname{u}(x)](\omega)
\end{split}
\]
e l'ultima trasformata è nota.
Arrivederci.
Per tornare IT, anche se certamente non ne hai bisogno, noto che questa:
"timemat":
Nel campo dei numeri complessi sappiamo che:
$ siniwx=(e^(iwx)-e^(-iwx))/(2i) $
è totalmente sbagliata, in quanto:
\[
\sin z = \frac{e^{\imath\ z} - e^{-\imath\ z}}{2\imath}\; ,
\]
dunque, in particolare, per \(\omega, x\in \mathbb{R}\) è:
\[
\sin (\imath\ \omega\ x) = \frac{e^{-\omega\ x} - e^{\omega\ x}}{2\imath}
\]
ossia
\[
\sin (\imath\ \omega\ x)= \imath\ \sinh (\omega\ x)\; .
\]
Per quanto riguarda l'esercizio sulla TdF (da ciò che posti posso solo indovinare come te l'hanno definita...[nota]Perché saprai certamente che esistono varie definizioni, le quali differiscono per la scelta delle costanti di normalizzazione, no?[/nota]), puoi ragionare molto più semplicemente:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}[\sin 5x\ \operatorname{u}(x-\pi)](\omega) &= \mathcal{F}[\sin (5x-5\pi+5\pi)\ \operatorname{u}(x-\pi)](\omega)\\
&= -\mathcal{F}[\sin (5(x-\pi))\ \operatorname{u}(x-\pi)](\omega)\\
&\stackrel{\text{trasl.}}{=} - e^{-\imath \pi\ \omega}\ \mathcal{F}[\sin 5x\ \operatorname{u}(x)](\omega)
\end{split}
\]
e l'ultima trasformata è nota.
Arrivederci.
[ot]
Sono certo che il mio sembrerà un post polemico e forse un po' lo vuole essere. Ma come si fa a dire che questo forum è una delusione date le migliaia di risposte date alle migliaia di quesiti posti? Le possibilità sono due: o l'utente non si è preoccupato di verificare prima di parlare oppure ha sbagliato tipo di forum.[/ot]
"timemat":
(...)p.s.
Che delusione questo forum.
Sono certo che il mio sembrerà un post polemico e forse un po' lo vuole essere. Ma come si fa a dire che questo forum è una delusione date le migliaia di risposte date alle migliaia di quesiti posti? Le possibilità sono due: o l'utente non si è preoccupato di verificare prima di parlare oppure ha sbagliato tipo di forum.[/ot]
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