Numeri complessi - Dubbio correttezza procedimento e soluzione

[batu95]

Buongiorno a tutti. Ho un piccolo dubbio con un esercizio preso da un compito di esame, senza soluzioni purtroppo. Volevo chiedervi se era corretto il procedimento utilizzato per la risoluzione di questo problema.

Questo il testo:

Calcolare la parte immaginaria del numero $ z^39-z^36 $ con $ z=1/2+((3^(1/2))/2) $

Trattandosi di potenze, ho pensato di portare il tutto in forma trigonometrica, ottenendo come modulo $ r=1 $ mentre come argomento $ cos(1/2)=sin(3^(1/2)/2)=60°=pi/3 $

Ho dunque ottenuto:

$ z^39= r^39[cos(39*pi/3)+isin(39*pi/3)] $ e $ z^36= r^36[cos(36*pi/3)+isin(36*pi/3)] $

Dovendo calcolare solamente la parte immaginaria, mettendola in evidenza ho che:

$ i(z^39-z^36)=i[r^39*sin(39*pi/3)-r^36*sin(36*pi/3)] = i[sin(13pi)-sin(12pi)] $

Ora avendo che $ 13pi = pi + 2(6)pi $ e $ 12pi = 0 + 2(6)pi $, ottengo

$ i(z^39-z^36)= i[sin(pi)-sin(0)] = i[0-0] = 0 $

Quindi concludo dicendo che il numero $ z^39-z^36 $ ha parte immaginaria $ i=0 $. E' corretto come procedimento? Grazie in anticipo a tutti quanti!

[Studente Anonimo]

Probabilmente intendevi $[z^39-z^36]$ con $[z=1/2+isqrt3/2]$. Se questo è il caso, dato che la seguente implicazione:

$[z=1/2+isqrt3/2] rarr [z^3=-1]$

è quasi immediata, puoi procedere più agevolmente così:

$[z=1/2+isqrt3/2] rarr [z^3=-1] ^^ [z^36=1] rarr [z^39-z^36=z^36(z^3-1)=-2]$

[batu95]

"anonymous_0b37e9":Probabilmente intendevi $[z^39-z^36]$ con $[z=1/2+isqrt3/2]$. Se questo è il caso, dato che la seguente implicazione:

$[z=1/2+isqrt3/2] rarr [z^3=-1]$

è quasi immediata, puoi procedere più agevolmente così:

$[z=1/2+isqrt3/2] rarr [z^3=-1] ^^ [z^36=1] rarr [z^39-z^36=z^36(z^3-1)=-2]$

Grazie mille, corretto, non mi ero accordo dell'errore

Cavolo, in questo modo è semplice si! Non ci avevo proprio fatto caso. Con esercizi del genere allora mi conviene prima dare un'occhio alle possibili messe in evidenza come in questo caso. Grazie mille!

[otta96]

Perché $-2$? Non dovrebbe essere $-1$?

[batu95]

"otta96":Perché $-2$? Non dovrebbe essere $-1$?

$ [z^3=−1]∧[z^(36)=1]→[z^(39)−z^(36)=z^(36)(z^3−1)=−2] $ Alla fine hai $ 1*(-1-1) $, cioè $ -2 $.

Lo stesso risultato sei fai come avevo fatto all'inizio io ma calcolando il Coseno hai alla fine $ cos(pi)-cos(0) = -1-(1) = -2 $

[otta96]

Ah si è vero mi sono confuso, sorry

[batu95]

"otta96":Ah si è vero mi sono confuso, sorry

E di cosa! Anzi, inizialmente pensavo anche io di aver fatto un errore visto che non tornava nemmeno a me quel -2 nella mia di soluzione, ma facevo l'errore di considerare $ cos(pi)$ uguale ad 1 e non -1.