Numeri complessi: disegnare insiemi tra loro correlati.
Salve a tutti, sono nuovo di questo forum e ringrazio anticipatamente chiunque si interessi a questo quesito.
Vi posto l'immagine per praticità: http://img843.imageshack.us/f/eserciziocomplessi.jpg/
Il primo insieme è semplice da definire: utilizzando la forma algebrica dei numeri complessi e sostituendo, arrivo alla disequazione $y>x+1$
Il secondo insieme: a parte la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine, come si può correlare la seconda parte dell'intersezione? O meglio: sappiamo che il primo insieme comprende tutti gli $z$ che stanno al di sopra di una retta. Come fare a mettere in correlazione in modo algebrico (a sistema) le due cose?
Grazie a tutti in anticipo
Vi posto l'immagine per praticità: http://img843.imageshack.us/f/eserciziocomplessi.jpg/
Il primo insieme è semplice da definire: utilizzando la forma algebrica dei numeri complessi e sostituendo, arrivo alla disequazione $y>x+1$
Il secondo insieme: a parte la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine, come si può correlare la seconda parte dell'intersezione? O meglio: sappiamo che il primo insieme comprende tutti gli $z$ che stanno al di sopra di una retta. Come fare a mettere in correlazione in modo algebrico (a sistema) le due cose?
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Nel primo quesito hai un modulo, e fuori un 2, quindi c'è qualcosa che non mi torna nella relazione che hai trovato.
Nel secondo puoi esprimenre $z$ in funzione di $w$ , poi dal momento che il primo deve soddisfare una relazione per appartanere ad A, ne trovi un'altra per $w$, ricavando quindi quali sono i $w$ per cui $z$ appartiene ad A.
Stesso procedimento per l'ultimo quesito.
Nel secondo puoi esprimenre $z$ in funzione di $w$ , poi dal momento che il primo deve soddisfare una relazione per appartanere ad A, ne trovi un'altra per $w$, ricavando quindi quali sono i $w$ per cui $z$ appartiene ad A.
Stesso procedimento per l'ultimo quesito.
Allora, cerco di spiegare il tutto: nel primo insieme ho agito in questo modo:
Operando all'interno del modulo, e sostituendo $x + iy$ e $x - iy$ rispettivamente a Z e a Z coniugato, ottengo la relazione:
$(1+i)(x+iy) + (1-i)(x-iy)$
svolgendo i prodotti:
$2x-2y$
essendo quest'ultimo un numero reale, il modulo è il classico "valore assoluto":
per $x>=y$ abbiamo $y>x-1$, per $x
Operando all'interno del modulo, e sostituendo $x + iy$ e $x - iy$ rispettivamente a Z e a Z coniugato, ottengo la relazione:
$(1+i)(x+iy) + (1-i)(x-iy)$
svolgendo i prodotti:
$2x-2y$
essendo quest'ultimo un numero reale, il modulo è il classico "valore assoluto":
per $x>=y$ abbiamo $y>x-1$, per $x
L'insieme dei numeri complessi che ti vanno bene è contenuto in quelle striscie. Per il secondo insieme devi traslare questo insieme di una unità verso destra (aggiungi 1) e ruotare di [tex]\pi/2[/tex] (moltiplichi per l'unità immaginaria quindi cambi la fase ma non il modulo). Inoltre il modulo deve essere inferiore all'unità.
"francalalla":
Allora, cerco di spiegare il tutto: nel primo insieme ho agito in questo modo: .....
Ho capito cosa hai cercato di fare, ti suggerivo solo che, se nella relazione non ci lasci il modulo, ti perdi dei punti dell'insieme.
Per il secondo esercizio devi prima ricavare la $z$ in funzione di $w$ e poi sostituire, oppure accorgerti dalla funzione che, in fondo, hai una traslazione e una rotazione, così come ti ha suggerito Klomax, agendo in senso opposto alle due nella relazione, sai dove sarà collocato $B$ nel piano, tieni presente che devi sempre rimanere all'interno del cerchio unitario.
Per il terzo esercizio sostituisci e ricava le relazioni che ti servono, stavolta in funzione di $u$.
Credo di aver risolto: esprimere $z$ in funzione di $w$, e infine $w$ in funzione di $u$. Traslare e ruotare è sicuramente la cosa più intuitiva e immediata per ottenere il secondo insieme, ma poi per ottenere il terzo mi servono necessariamente dei luoghi geometrici in cui sostituire le varie relazioni.
Ricapitolando:
- il primo insieme sono le due strisce diagonali adiacenti con la frontiera in comune.
- il secondo sono le stesse strisce traslate e ruotate (come prima citato) intersecate con la centro unitario centrato nell'origine.
- il terzo insieme ottengo:
$\{(x^2 - y^2 + 2xy - 1 >= 0),(x^2 - y^2 + 2xy - 2 < 0):}$
unito a:
$\{(x^2 - y^2 + 2xy - 1 < 0),(x^2 - y^2 + 2xy > 0):}$
Le due strisce si "trasformano" nello spazio contenuto tra la parabola $x^2 - y^2 + 2xy - 2 = 0$ e le 2 rette incidenti $x^2 - y^2 + 2xy = 0$, il tutto ancora intersecato con il cerchio unitario di raggio uno ( $u$ nonostante l'elevamento a potenza conserva la limitazione del modulo).
Se mi deste conferma sarei però più sicuro...grazie a tutti!
Ricapitolando:
- il primo insieme sono le due strisce diagonali adiacenti con la frontiera in comune.
- il secondo sono le stesse strisce traslate e ruotate (come prima citato) intersecate con la centro unitario centrato nell'origine.
- il terzo insieme ottengo:
$\{(x^2 - y^2 + 2xy - 1 >= 0),(x^2 - y^2 + 2xy - 2 < 0):}$
unito a:
$\{(x^2 - y^2 + 2xy - 1 < 0),(x^2 - y^2 + 2xy > 0):}$
Le due strisce si "trasformano" nello spazio contenuto tra la parabola $x^2 - y^2 + 2xy - 2 = 0$ e le 2 rette incidenti $x^2 - y^2 + 2xy = 0$, il tutto ancora intersecato con il cerchio unitario di raggio uno ( $u$ nonostante l'elevamento a potenza conserva la limitazione del modulo).
Se mi deste conferma sarei però più sicuro...grazie a tutti!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
