[numeri complessi] derivata

[ELWOOD1]

Non capisco una cosa...se io descrivo un moto armonico $x(t)=A\cos(\omega t +\phi)$ attraverso un numero complesso: $x(t)=Ae^{i(\omega t + \phi)}$, allora derivando in $t$ ho:

$\dot(x)(t)=i\omega Ae^{i(\omega t + \phi)}$ che dalla formula di Eulero posso scrivere:

$\dot(x)(t)=i\omega A(\cos \omega t + i\sin\omega t)=A\omega(i\cos\omega t -\sin\omega t)$

Fin qui ci sono....ma ora il libro dice che quest'ultima espressione è uguale a: $\dot(x)(t)=A\omega e^{i(\omega t +\frac{\pi}{2}}$.

Non capisco quello sfasamento di $\frac{\pi}{2}$ da dove viene....

[Camillo]

Lo sfasamento serve a sistemare seni e coseni che sono scambiati tra loro , nel senso che invece di $ cos theta +i sen theta=e^(itheta) $ hai $ icos theta -sen theta $.
E quindi $ icos theta -sen theta = e^(i(theta +pi/2))= cos(theta+pi/2)+isen(theta+pi/2) = -sen theta +icos theta$.

[ELWOOD1]

lo avevo immaginato ma non son riuscito immediatamente a trovare la relazione che hai scritto....grazie mille x la dritta!

[ELWOOD1]

ehm....però una cosa....

la relazione non dovrebbe essere $\sin\theta=\cos(\theta-(\pi)/2)$ e $\cos\theta=\sin(\theta-(\pi)/2)$?
quindi quel $(\pi)/2$ dovrebbe essere in realtà $-(\pi)/2$ o no?

[ELWOOD1]

Ok Camillo.....forse ho capito...la relazione che hai seguito tu dovrebbe essere questa

$\sin\theta=-\cos(\theta+(\pi)/2)$
$\cos\theta=\sin(\theta+(\pi)/2)$

e se è questa torna perfettamente....grazie