NUmeri complessi, argomento di zeta.
Ciao a tutti...non riesco a capire una cosa di teoria che però ha grande rilevanza poi nell'eseguire gli esercizi su questo argomento.
L'argomento sono i numeri complessi, sono arrivato al punto di dover rappresentare in forma trigonometrica o polare un qualsiasi numero.
C'è scritto che il numero complesso z può essere rappresentato in forma polare o trigonometrica come:
$ z=r(cosΘ+isinΘ) $
dove:
$ r=|z| $ (questo mi è chiaro anche per quanto riguarda il ricavare questa r)
e
$ Θ= Arg(z) $
Geometricamente ho capito cos'è Θ, quello che non riesco a capire però è come ricavarla!
Esercizio d'esempio:
Dai calcoli è venuto fuori che la z in forma algebrica equivale a $ z= (sqrt(3)/2)*(1-sqrt(3)i) $ ..bene
Ora devo rappresentare tale numero z in forma trigonometrica.
Calcolo la mia r come $ r= |z|= (sqrt(3)/2)*(sqrt(1+3))= sqrt(3) $
fin qui mi è tutto chiaro...poi inizia il buio totale!
$ cosΘ = 1/2 $
$ sinΘ = -(sqrt(3)/2) $
$ => Arg(z) = -Π/3 $
...non riesco proprio a capire nulla di quello che c'è scritto, perchè il cos viene 1/2...e il sin? e soprattutto...l'arg(z) ...??
L'argomento sono i numeri complessi, sono arrivato al punto di dover rappresentare in forma trigonometrica o polare un qualsiasi numero.
C'è scritto che il numero complesso z può essere rappresentato in forma polare o trigonometrica come:
$ z=r(cosΘ+isinΘ) $
dove:
$ r=|z| $ (questo mi è chiaro anche per quanto riguarda il ricavare questa r)
e
$ Θ= Arg(z) $
Geometricamente ho capito cos'è Θ, quello che non riesco a capire però è come ricavarla!
Esercizio d'esempio:
Dai calcoli è venuto fuori che la z in forma algebrica equivale a $ z= (sqrt(3)/2)*(1-sqrt(3)i) $ ..bene
Ora devo rappresentare tale numero z in forma trigonometrica.
Calcolo la mia r come $ r= |z|= (sqrt(3)/2)*(sqrt(1+3))= sqrt(3) $
fin qui mi è tutto chiaro...poi inizia il buio totale!
$ cosΘ = 1/2 $
$ sinΘ = -(sqrt(3)/2) $
$ => Arg(z) = -Π/3 $
...non riesco proprio a capire nulla di quello che c'è scritto, perchè il cos viene 1/2...e il sin? e soprattutto...l'arg(z) ...??
Risposte
Da quello che hai scritto tu
$ z= (sqrt(3)/2)*(1-sqrt(3)i) $
io farei
$ z= (sqrt(3)/2)*(1-sqrt(3)i)= (sqrt(3))*(1/2-sqrt(3)/2i) $
Noti subito allora che $|z|=sqrt(3)$, $cos(\theta)=1/2$, $sen(\theta)=-sqrt(3)/2$
e questi sono valori noti del coseno e del seno che ti permettono immediatamente di concludere che $\theta=-\pi/3$
poichè $cos(-\pi/3)=cos(\pi/3)=1/2$ e $sen(-\pi/3)=-sen(\pi/3)=-sqrt(3)/2$
$ z= (sqrt(3)/2)*(1-sqrt(3)i) $
io farei
$ z= (sqrt(3)/2)*(1-sqrt(3)i)= (sqrt(3))*(1/2-sqrt(3)/2i) $
Noti subito allora che $|z|=sqrt(3)$, $cos(\theta)=1/2$, $sen(\theta)=-sqrt(3)/2$
e questi sono valori noti del coseno e del seno che ti permettono immediatamente di concludere che $\theta=-\pi/3$
poichè $cos(-\pi/3)=cos(\pi/3)=1/2$ e $sen(-\pi/3)=-sen(\pi/3)=-sqrt(3)/2$
Ci sto già capendo qualcosa in più... 
L'unica cosa che mi manca è: perchè
$ cosθ = 1/2 , sinθ=-(sqrt(3)/2) $ ?
L'unica cosa che mi manca è: perchè
$ cosθ = 1/2 , sinθ=-(sqrt(3)/2) $ ?
Perchè come hai detto tu:
posso scrivere in generale un numero complesso z come $z=r(cos(\theta)+isen(\theta))$
Nel tuo caso hai $z= (sqrt(3)/2)*(1-sqrt(3)i)= (sqrt(3))*(1/2-sqrt(3)/2i)= (sqrt(3))*(1/2+i(-sqrt(3)/2))$
e quindi se confronti con il modo generale di scrivere $z$ (messo sopra) ottieni:
$r=sqrt(3)$, $cos(\theta)=1/2$, $sen(\theta)=-sqrt(3)/2$
posso scrivere in generale un numero complesso z come $z=r(cos(\theta)+isen(\theta))$
Nel tuo caso hai $z= (sqrt(3)/2)*(1-sqrt(3)i)= (sqrt(3))*(1/2-sqrt(3)/2i)= (sqrt(3))*(1/2+i(-sqrt(3)/2))$
e quindi se confronti con il modo generale di scrivere $z$ (messo sopra) ottieni:
$r=sqrt(3)$, $cos(\theta)=1/2$, $sen(\theta)=-sqrt(3)/2$
aaaah non ci sono calcoli da fare, i valori di cos e sin vengono fuori dai valori che prende la z, ho capito grazie mille!!!!
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