Numeri Complessi, aiuto procedimento

[djmustaccio]

salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per quanto riguarda il calcolo di radici nel campo complesso ad esempio [tex]\sqrt[3]{-27}[/tex] e di [tex]\sqrt[3]{\sqrt{2}+i }[/tex] non voglio che me li risolviate, anzi vorrei che qualcuno mi guidasse nel ragionamento.
spero che qualcuno possa aiutarmi.
grazie anticipatamente!

[poncelet]

Non credo che [tex]$\sqrt[3]{-27}$[/tex] sia un numero complesso...

[djmustaccio]

Infatti ho detto che le devo risolvere nel "campo complesso" non ho mai detto che sia un numero complesso!
e comunque penso che [tex]\sqrt[3]{-27}[/tex] sia uguale a [tex]\sqrt[3]{-27+i0}[/tex] oppure mi sbaglio?!?

[poncelet]

Non vorrei dire una cavolata ma [tex]$\sqrt[3]{-27}=-3$[/tex] sia in campo reale che in campo complesso. Per quanto riguarda l'altro numero di cui devi calcolare la radice terza ti conviene scriverlo utilizzando l'identità di Eulero [tex]$z=\rho e^{\theta i}$[/tex]

[kondor1]

"djmustaccio":Infatti ho detto che le devo risolvere nel "campo complesso" non ho mai detto che sia un numero complesso!
e comunque penso che [tex]\sqrt[3]{-27}[/tex] sia uguale a [tex]\sqrt[3]{-27+i0}[/tex] oppure mi sbaglio?!?

No,non sbagli.Comunque per conseguenza della formula di De Moivre basta calcolarti modulo e argomento di [tex]z=-27[/tex] e applicare la formula [tex]\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{\rho}[cos(\frac{\theta+2k\pi}{3})+isin(\frac{\theta+2k\pi}{3})][/tex];le tre radici le ottieni ponendo nella formula [tex]k_0=0,k_1=1,k_2=2[/tex]

[djmustaccio]

Mentre [tex]\theta[/tex] come lo calcoli? quello che mi risulta difficile è quando escono fuori angoli non noti, ad esempio nel caso di [tex]\sqrt[3]{-27+i0}[/tex] se seguo la formula [tex]\theta= \arctan{\left(b \over a\right)}[/tex] (poiché $a>0$) dovrebbe risultare [tex]\theta=0[/tex] o no?
Nel secondo caso invece [tex]\sqrt[3]{\sqrt(2)+i}[/tex] il modulo dovrebbe essere [tex]\sqrt{(\sqrt{2})^2 +1^2} = \sqrt{3}[/tex] mentre [tex]\theta= \arctan{\left(1 \over \sqrt2\right)}[/tex] è corretto ciò che ho fatto?

[poncelet]

"djmustaccio":Mentre [tex]\theta[/tex] come lo calcoli? quello che mi risulta difficile è quando escono fuori angoli non noti, ad esempio nel caso di [tex]\sqrt[3]{-27+i0}[/tex] se seguo la formula [tex]\theta= \arctan{\left(b \over a\right)}[/tex] (poiché $a>0$) dovrebbe risultare [tex]\theta=0[/tex] o no?
Nel secondo caso invece [tex]\sqrt[3]{\sqrt(2)+i}[/tex] il modulo dovrebbe essere [tex]\sqrt{(\sqrt{2})^2 +1^2} = \sqrt{3}[/tex] mentre [tex]\theta= \arctan{\left(1 \over \sqrt2\right)}[/tex] è corretto ciò che ho fatto?

Per quanto riguarda il[tex]$\theta$[/tex] del primo numero, siccome hai un numero reale negativo, esso si trova sull'asse negativo delle ascisse e quindi secondo me [tex]$\theta=\pi$[/tex]

[djmustaccio]

si è vero!!! che sciocco nella formula per calcolare $theta$ dovevo considerare $a<0$ non il contrario!! infatti [tex]\theta= \arctan{\left(b \over a\right)}+\pi[/tex] e quindi l'angolo del primo dovrebbe risultare [tex]\theta=\pi[/tex] !!! ok, nella seconda invece come la mettiamo??...

[kondor1]

"djmustaccio":si è vero!!! che sciocco nella formula per calcolare $theta$ dovevo considerare $a<0$ non il contrario!! infatti [tex]\theta= \arctan{\left(b \over a\right)}+\pi[/tex] e quindi l'angolo del primo dovrebbe risultare [tex]\theta=\pi[/tex] !!! ok, nella seconda invece come la mettiamo??...

Puoi considerare anche [tex]\theta=\begin{cases} sin(\theta)=(\frac{b}{\rho}) \\ cos(\theta)=(\frac{a}{\rho})\end{cases}[/tex],e per il primo caso subito saresti giunto a [tex]\theta=\pi[/tex];detto questo convengo con te che per il secondo caso non siamo in presenza di un angolo noto..

[ciampax]

"maxsiviero":Non vorrei dire una cavolata ma [tex]$\sqrt[3]{-27}=-3$[/tex] sia in campo reale che in campo complesso. Per quanto riguarda l'altro numero di cui devi calcolare la radice terza ti conviene scriverlo utilizzando l'identità di Eulero [tex]$z=\rho e^{\theta i}$[/tex]

Ma che stai a dì? [tex]$-27=3^3(\cos\pi+i\sin\pi)$[/tex] per cui le radici complesse sono

[tex]$z_k=3\elft(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\right),\qquad k=0,1,2$[/tex]

Per il secondo invece direi che usando il suggerimento di kondor trovi

[tex]$\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\qquad \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$[/tex]

che effettivamente non fornisce un angolo noto. Quello che puoi dire è che, sicuramente, [tex]$\theta\in(\pi/6,\pi/4)$[/tex]

[poncelet]

Faccio notare che ero già stato (giustamente) corretto una volta in questo thread per lo stesso motivo...