Numeri Complessi
Ciao a tutti, ho una perplessità riguardo la seguente equazione:
$ bar(z)^3 = 3z $
posso scrivere:
$ p^3(cos(-3del) + isin(-3del)) = 3p(cos(del)+isin(del)) $
il mio problema non riguarda l'equazione ma una riscrittura di quanto scritto:
$ 3p(cos(-del)+isin(-del)) = p^3(cos(3del) + isin(3del)) $
Non riesco a capire il perchè di quel - all'argomento!
Grazie!
$ bar(z)^3 = 3z $
posso scrivere:
$ p^3(cos(-3del) + isin(-3del)) = 3p(cos(del)+isin(del)) $
il mio problema non riguarda l'equazione ma una riscrittura di quanto scritto:
$ 3p(cos(-del)+isin(-del)) = p^3(cos(3del) + isin(3del)) $
Non riesco a capire il perchè di quel - all'argomento!
Grazie!
Risposte
$ bar(z)^3 = 3z => z^3=3 bar(z)$
Scusatemi ma ancora non vedo il perchè...
L'equazione di partenza è $\bar{z}^3=3z$ e conduce a $ p^3(cos(-3del) + isin(-3del)) = 3p(cos(del)+isin(del)) $.
Prendendo il complesso coniugato di entrambi i membri dell'equazione di partenza ottieni $z^3=3\bar{z}$ che conduce a $ 3p(cos(-del)+isin(-del)) = p^3(cos(3del) + isin(3del)) $.
Prendendo il complesso coniugato di entrambi i membri dell'equazione di partenza ottieni $z^3=3\bar{z}$ che conduce a $ 3p(cos(-del)+isin(-del)) = p^3(cos(3del) + isin(3del)) $.
Ma, senza fare troppi passaggi, basta passare ai coniugati m.a.m.: infatti:
\[
\bar{z}^3 =3 z \quad \Leftrightarrow \quad z^3 =\overline{\bar{z}^3} = \overline{3z} =3\bar{z}\; .
\]
Inoltre, l'equazione si risove con un paio di considerazioni simpatiche, senza troppi conti: innanzitutto, \(z=0\) è soluzione, quindi basta cercare le soluzioni non nulle; poi, moltiplicando per \(z^3\) ambo i membri dell'equazione originaria si vede che:
\[
|z|^6 = 3z^4
\]
dunque \(z^4\) è reale e positivo e ciò accade solo se l'argomento di \(z\) è un multiplo di \(\pi/2\); quindi o \(z\) è reale positivo, o è reale negativo, oppure è immaginario puro con coefficiente positivo, ovvero immaginario puro con coefficiente negativo; dato che l'equazione originaria è simmetrica (nel senso che \(z\) è soluzione se e solo se \(-z\) è soluzione), basta determinare le soluzioni del tipo \(z=x\) e \(z=\imath\ y\) con \(x,y>0\), e poi aggregare al risultato le corrispondenti soluzioni opposte; ora è semplicissimo determinare esplicitamente queste soluzioni quindi l'esercizio è bello e finito.
\[
\bar{z}^3 =3 z \quad \Leftrightarrow \quad z^3 =\overline{\bar{z}^3} = \overline{3z} =3\bar{z}\; .
\]
Inoltre, l'equazione si risove con un paio di considerazioni simpatiche, senza troppi conti: innanzitutto, \(z=0\) è soluzione, quindi basta cercare le soluzioni non nulle; poi, moltiplicando per \(z^3\) ambo i membri dell'equazione originaria si vede che:
\[
|z|^6 = 3z^4
\]
dunque \(z^4\) è reale e positivo e ciò accade solo se l'argomento di \(z\) è un multiplo di \(\pi/2\); quindi o \(z\) è reale positivo, o è reale negativo, oppure è immaginario puro con coefficiente positivo, ovvero immaginario puro con coefficiente negativo; dato che l'equazione originaria è simmetrica (nel senso che \(z\) è soluzione se e solo se \(-z\) è soluzione), basta determinare le soluzioni del tipo \(z=x\) e \(z=\imath\ y\) con \(x,y>0\), e poi aggregare al risultato le corrispondenti soluzioni opposte; ora è semplicissimo determinare esplicitamente queste soluzioni quindi l'esercizio è bello e finito.
Potresti cavartela con ancora meno passaggi notando che $z=0$ è soluzione e $\bar{z}^3=3z<=>z^3=3\bar{z}$ e moltiplicando membro a membro $|z|^6=9|z|^2=>|z|=\sqrt{3}$. Sostituendo $z=\sqrt{3}e^{i\theta}$ nell'equazione di partenza si trova $e^{4i\theta}=1$ quindi le soluzioni sono $0,\ \sqrt{3},\ -\sqrt{3},\ i\sqrt{3},\ -i\sqrt{3}$.
Però, se non ho interpretato male, nel post iniziale l'OP ha detto che il suo interesse non era sulla soluzione dell'equazione, ma su quel passaggio che voleva capire.
Però, se non ho interpretato male, nel post iniziale l'OP ha detto che il suo interesse non era sulla soluzione dell'equazione, ma su quel passaggio che voleva capire.
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