Numeri complessi
salve a tutti,
devo trovare i numeri complessi che soddisfano l'equazione:
$bar (z)|z-1|^2=|bar(z)|^2(bar(z^3-1))$
$bar (z)|z|^2-1=zbar(z)(bar(z^3-1))$
il suddetto può essere un passaggio utile??
e poi come posso continuare?
grazie
devo trovare i numeri complessi che soddisfano l'equazione:
$bar (z)|z-1|^2=|bar(z)|^2(bar(z^3-1))$
$bar (z)|z|^2-1=zbar(z)(bar(z^3-1))$
il suddetto può essere un passaggio utile??
e poi come posso continuare?
grazie
Risposte
Puoi spiegare dettagliatamente come hai fatto a riscrivere il termine di sinistra in quel modo?
no aspetta...scusami ho sbagliato, a sinistra è $ bar(z) (bar(z-1))(z-1)$
Molto meglio. Ora puoi scomporre $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$ per poi portare tutto nel termine di sinistra e raccogliendo ciò che può essere raccolto cosa ottieni?
"Alfius":
$z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$
ma il coniugato lo devo considerare
Certo che lo devi considerare, se $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$ allora $\bar(z^3-1)=(\bar(z-1))(\bar(z^2+z+1))$
okok
allora ho portato tutto a sinistra ed ho raccolto $(bar(z))(bar(z-1))[(z-1) - z (bar(z^2+z+1))]=0$
Ok, riscrivi meglio l'ultima parentesi tenendo conto che il coniugato della somma è la somma dei coniugati (ricorda anche che $z\bar(z)=|z|^2$ quindi $z\bar(z)^2=\bar(z)|z|^2$)
$(bar(z))(bar(z-1))[(z-1) - z (bar(z^2)+bar(z)+bar(1))]=0$
Va bene, ora $z(bar(z^2)+bar(z)+bar(1))=z(bar(z)^2+bar(z)+1)=bar(z)|z|^2+|z|^2+z$ quindi la tua equazione diventa
$bar(z)(bar(z)-1)(bar(z)|z|^2+|z|^2+1)=0$
Come procedi?
$bar(z)(bar(z)-1)(bar(z)|z|^2+|z|^2+1)=0$
Come procedi?
$bar(z)(bar(z)-1)=0$
$bar(z)|z^2|+|z^2|+1=0$
$bar(z)|z^2|+|z^2|+1=0$
Ok, la prima è facilissima, le soluzioni sono $z=0$ e $z=1$.
Per la seconda (che non hai scritto bene) puoi fare questa osservazione: $0$ non è soluzione quindi possiamo supporre $z\ne 0$ per cercare soluzioni diverse da $0$.
$\bar(z)|z|^2+|z|^2+1=0\Rightarrow \bar(z)=(1+|z|^2)/(|z|^2)\in\mathbb{R}$
Essendo $z$ un numero reale puoi riscrivere l'equazione $z^3+z^2+1=0$ con $z\in\mathbb{R}$.
Non sforzarti di risolvere questa equazione, non esiste un modo semplice per risolverla, ti posso solo dire che la soluzione è unica e vale $z\approx-1.46557$
Per la seconda (che non hai scritto bene) puoi fare questa osservazione: $0$ non è soluzione quindi possiamo supporre $z\ne 0$ per cercare soluzioni diverse da $0$.
$\bar(z)|z|^2+|z|^2+1=0\Rightarrow \bar(z)=(1+|z|^2)/(|z|^2)\in\mathbb{R}$
Essendo $z$ un numero reale puoi riscrivere l'equazione $z^3+z^2+1=0$ con $z\in\mathbb{R}$.
Non sforzarti di risolvere questa equazione, non esiste un modo semplice per risolverla, ti posso solo dire che la soluzione è unica e vale $z\approx-1.46557$
e poi??.....
poi posso sostituire la forma z=x+iy???
L'esercizio ti chiede di trovare le soluzioni, vero? Ebbene, le soluzioni sono $z=0$, $z=1$ e $z\approx -1.46557$.
Perché ti sorprende che per risolverlo non ci sia stato bisogno di scrivere $z=x+iy$ ?
Perché ti sorprende che per risolverlo non ci sia stato bisogno di scrivere $z=x+iy$ ?
no, ti spiego io ricordo che una volta semplificato alcuni passaggi la prof. sostituiva la forma z=x + iy e metteva a sistema parte reale e parte immaginaria e trovava le soluzioni
Ok, ti spiego cosa potrebbe aver fatto la tua professoressa.
Tieni a mente però che, come sai, non c'è un unico modo per risolvere un'equazione. Se riesci a sfruttare qualche scorciatoia è molto meglio (come ho fatto nel post di prima per risolvere $\bar(z)|z|^2+|z|^2+1=0$).
Per risolvere $\bar(z)=0$ e $\bar(z)-1=0$ non c'è alcun motivo di sostituire $z=x+iy$. Queste si risolvono in modo banale, e le soluzioni sono $z=0$ e $z=1$.
Per risolvere $\bar(z)|z|^2+|z|^2+1=0$ magari non ti accorgi della scorciatoia che ho usato precedentemente, quindi procedi sostituendo $z=x+iy$ (e dunque $\bar(z)=x-iy$ e $|z|^2=x^2+y^2$).
L'equazione di partenza diventa quindi $x^3+xy^2-ix^2y-iy^3+x^2+y^2+1=0$. Dato che sia la parte reale sia la parte immaginaria dell'equazione devono essere nulle ti riduci al sistema
$x^3+xy^2+x^2+y^2+1=0$
$x^2y+y^3=0$
La seconda equazione è risolta da $y=0$ e $y^2=-x^2$.
Nel primo caso, sostituendo $y=0$ nella prima equazione ottieni $x^3+x^2+1=0$ (che è quella che ho scritto nei post precedenti usando la scorciatoia, la soluzione quindi è $x\approx -1.46557$).
Nel secondo noti che $y^2=-x^2$ è risolta se e solo se $x=y=0$ (ricorda che $x$ e $y$ devono essere necessariamente reali). Però $x=y=0$ non risolve la prima equazione del sistema.
Quindi il secondo caso non genera ulteriori soluzioni e l'unica soluzione di $\bar(z)|z|^2+|z|^2+1=0$ è $z\approx-1.46557$.
Come vedi il procedimento è decisamente più lungo e laborioso, quindi se riesci a sfruttare qualche scorciatoia conviene farlo.
Tieni a mente però che, come sai, non c'è un unico modo per risolvere un'equazione. Se riesci a sfruttare qualche scorciatoia è molto meglio (come ho fatto nel post di prima per risolvere $\bar(z)|z|^2+|z|^2+1=0$).
Per risolvere $\bar(z)=0$ e $\bar(z)-1=0$ non c'è alcun motivo di sostituire $z=x+iy$. Queste si risolvono in modo banale, e le soluzioni sono $z=0$ e $z=1$.
Per risolvere $\bar(z)|z|^2+|z|^2+1=0$ magari non ti accorgi della scorciatoia che ho usato precedentemente, quindi procedi sostituendo $z=x+iy$ (e dunque $\bar(z)=x-iy$ e $|z|^2=x^2+y^2$).
L'equazione di partenza diventa quindi $x^3+xy^2-ix^2y-iy^3+x^2+y^2+1=0$. Dato che sia la parte reale sia la parte immaginaria dell'equazione devono essere nulle ti riduci al sistema
$x^3+xy^2+x^2+y^2+1=0$
$x^2y+y^3=0$
La seconda equazione è risolta da $y=0$ e $y^2=-x^2$.
Nel primo caso, sostituendo $y=0$ nella prima equazione ottieni $x^3+x^2+1=0$ (che è quella che ho scritto nei post precedenti usando la scorciatoia, la soluzione quindi è $x\approx -1.46557$).
Nel secondo noti che $y^2=-x^2$ è risolta se e solo se $x=y=0$ (ricorda che $x$ e $y$ devono essere necessariamente reali). Però $x=y=0$ non risolve la prima equazione del sistema.
Quindi il secondo caso non genera ulteriori soluzioni e l'unica soluzione di $\bar(z)|z|^2+|z|^2+1=0$ è $z\approx-1.46557$.
Come vedi il procedimento è decisamente più lungo e laborioso, quindi se riesci a sfruttare qualche scorciatoia conviene farlo.
perfetto ci siamo...l'unica cosa che però non ho capito è la "scorciatoia" che hai usato
La "scorciatoia" consiste semplicemente nell'accorgersi che un'ipotetica soluzione di $\bar{z}|z|^2+|z|^2+1=0$ deve necessariamente essere reale non nulla. A questo punto quando vai a sostituire $z=x+iy$, sapendo che $z$ deve essere reale puoi già dire che $y=0$, quindi scrivi semplicemente $z=x$ (e quindi $\bar{z}=x$ e $|z|^2=x^2$). Nei miei post non ho usato il simbolo $x$, ho voluto lasciare il simbolo $z$, visto che $z=x$ (senza passare in coordinate cartesiane).
ok ok grazie mille per l'aiuto
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