Numeri complessi
Salve a tutti, desideravo chiedervi aiuto riguardo un'espressione di numeri complessi; dovrei risolvere:
\(\displaystyle \left(\frac{1-i}{1+i\sqrt{3}}\right)^{10} \)
Il procedimento che ho utilizzato è il seguente:
\(\displaystyle \left(\frac{1-i}{1+i\sqrt{3}}\right)^{10}=\left(\frac{1-i}{1+i\sqrt{3}}\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}\right)^{10}=\left(\frac{(1-i)(1-i\sqrt{3})}{4}\right)^{10}\)
\(\displaystyle \left(\frac{(1+\sqrt{3})(-i\sqrt{3}-i)}{4}\right)^{10}=\left(\frac{(1+\sqrt{3})-i(1+\sqrt{3})}{4}\right)^{10}=\left(\frac{(1+\sqrt{3})(1-i)}{4}\right)^{10}=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{4}\right)^{10}(1-i)^{10} \)
A questo punto ho scritto il numero complesso tramite la rappresentazione trigonometrica ed ho poi applicato la formula di De Moivre:
\(\displaystyle \left(1-i\right)=\sqrt{2}(cos\frac{7}{4}\pi+isin\frac{7}{4}\pi) \)
\(\displaystyle \left(1-i\right)^{10}=32(cos\frac{70}{4}\pi+isin\frac{70}{4}\pi) \)
Essendo (70/4)p = 270° si ha:
\(\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt{3}}{4}\right)^{10}32i \) che dovrebbe essere la soluzione.
Potete dirmi se il procedimento è giusto o meno?
Grazie in anticipo
Distinti saluti
Enrico Catanzani
\(\displaystyle \left(\frac{1-i}{1+i\sqrt{3}}\right)^{10} \)
Il procedimento che ho utilizzato è il seguente:
\(\displaystyle \left(\frac{1-i}{1+i\sqrt{3}}\right)^{10}=\left(\frac{1-i}{1+i\sqrt{3}}\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}\right)^{10}=\left(\frac{(1-i)(1-i\sqrt{3})}{4}\right)^{10}\)
\(\displaystyle \left(\frac{(1+\sqrt{3})(-i\sqrt{3}-i)}{4}\right)^{10}=\left(\frac{(1+\sqrt{3})-i(1+\sqrt{3})}{4}\right)^{10}=\left(\frac{(1+\sqrt{3})(1-i)}{4}\right)^{10}=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{4}\right)^{10}(1-i)^{10} \)
A questo punto ho scritto il numero complesso tramite la rappresentazione trigonometrica ed ho poi applicato la formula di De Moivre:
\(\displaystyle \left(1-i\right)=\sqrt{2}(cos\frac{7}{4}\pi+isin\frac{7}{4}\pi) \)
\(\displaystyle \left(1-i\right)^{10}=32(cos\frac{70}{4}\pi+isin\frac{70}{4}\pi) \)
Essendo (70/4)p = 270° si ha:
\(\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt{3}}{4}\right)^{10}32i \) che dovrebbe essere la soluzione.
Potete dirmi se il procedimento è giusto o meno?
Grazie in anticipo
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Risposte
Secondo me ti perdi in calcoli pressoché inutili: io partirei con lo scrivere immediatamente i due numeri in forma esponenziale:
$1-i=\sqrt{2}(\cos({7\pi}/4)+i\sin({7\pi}/4)),\qquad 1+i\sqrt{3}=2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))$
da cui, visto che il modulo di un rapporto è pari al rapporto dei moduli e l'argomento di un rapporto pari alla differenza degli argomenti
${1-i}/{1+\sqrt{3}}={\sqrt{2}(\cos({7\pi}/4)+i\sin({7\pi}/4))}/{2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))}={\sqrt{2}}/2(\cos({17\pi}/{12})+i\sin({17\pi}/12))$
e quindi
$({1-i}/{1+\sqrt{3}})^{10}=[{\sqrt{2}}/2(\cos({17\pi}/{12})+i\sin({17\pi}/12))]^{10}=1/{32}(\cos({170\pi}/{12})+i\sin({170\pi}/12))=$
visto che $170=12\cdot 14+2$ e quindi ${170\pi}/{12}=14\pi+{2\pi}/{12}\sim \pi/6$ come argomento principale,
$=1/{32}(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6))=1/32({\sqrt{3}}/2+i/2)=1/{64}(\sqrt{3}+i)$
$1-i=\sqrt{2}(\cos({7\pi}/4)+i\sin({7\pi}/4)),\qquad 1+i\sqrt{3}=2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))$
da cui, visto che il modulo di un rapporto è pari al rapporto dei moduli e l'argomento di un rapporto pari alla differenza degli argomenti
${1-i}/{1+\sqrt{3}}={\sqrt{2}(\cos({7\pi}/4)+i\sin({7\pi}/4))}/{2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))}={\sqrt{2}}/2(\cos({17\pi}/{12})+i\sin({17\pi}/12))$
e quindi
$({1-i}/{1+\sqrt{3}})^{10}=[{\sqrt{2}}/2(\cos({17\pi}/{12})+i\sin({17\pi}/12))]^{10}=1/{32}(\cos({170\pi}/{12})+i\sin({170\pi}/12))=$
visto che $170=12\cdot 14+2$ e quindi ${170\pi}/{12}=14\pi+{2\pi}/{12}\sim \pi/6$ come argomento principale,
$=1/{32}(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6))=1/32({\sqrt{3}}/2+i/2)=1/{64}(\sqrt{3}+i)$
Come fai ad ottenere la scrittura trigonometrica del numero complesso al denominatore?
Presto detto: per il modulo $|z|=\sqrt{1+3}=2$. Per l'argomento, cerco un valore $\theta$ per cui $\cos\theta=1/2,\ \sin\theta={\sqrt{3}}/2$ o, equivalentemente, $\tan\theta=\sqrt{3}$ e osservo che il numero compelsso sta nel primo quadrante.
Giustissimo, grazie 1000.
Saluti
Saluti
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