Numeri complessi

[Karozzi]

Un esercizio di un tema d'esame dice di determinare la forma algebrica delle soluzioni complesse dell'equazione $iz^3=27$
Io ho pensato di fare $z^3=27/i$ , quindi $z=root(3) (27/i)$
$z=3/root(3) i$

A questo punto come mi comporto?

[gugo82]

A questo punto dovresti aprire il libro e leggere la formula per il calcolo delle radici dei numeri complessi.

[Karozzi]

obbedisco.

[gugo82]

"Karozzi":[quote="gugo82"]A questo punto dovresti aprire il libro e leggere la formula per il calcolo delle radici dei numeri complessi.

[...] mi servirebbe sapere come calcolare $root(3) i$.. mi sono appena confrontato col libro di testo e non dice nulla a riguardo! Fa altri tipi di esempi..[/quote]
Fa esempi senza riportare una formula generale?
Che testi strani...

"Karozzi":[quote="gugo82"]A questo punto dovresti aprire il libro e leggere la formula per il calcolo delle radici dei numeri complessi.

Allora non mi iscrivevo al forum..!![/quote]
[xdom="gugo82"]Ti rammento il regolamento, in particolare 1.2, e questo avviso.[/xdom]

[Karozzi]

Hai ragione scusa per la sfrontatezza ho risolto l'esercizio.

Alla fine bastava, con un pò di teoria alle spalle, vedere anche il 27 come un complesso in forma trigonometrica.
Perdono.

[gugo82]

"Karozzi":Alla fine bastava, con un pò di teoria alle spalle, vedere anche il 27 come un complesso in forma trigonometrica.

Ma potevi anche renderti conto che se \(z=\alpha w\) con \(\alpha \in \mathbb{R}\), allora \(\sqrt[3]{z}=\alpha^{1/3}\ \sqrt[3]{w}\), quindi nel tuo caso:
\[
\sqrt[3]{\frac{27}{\imath}} =3\ \sqrt[3]{\frac{1}{\imath}} =3\ \sqrt[3]{-\imath}
\]
ed applicare la formula solo per calcolare le radici che figurano all'ultimo membro.