Numeri complessi...

[Simonixx]

Ho un problema a risolvere la seguente equazione:

$z^2 + \bar z^4 = 0$

Non so come muovermi anche semplificando. Ovvero so che $z*\bar z = |z|^2$ quindi posso riportare quella lì in questa forma: $z^6 + |z|^8$ posso giungere in forma polare alla seguente:

$|z|^6(cos(6*theta) + i*sen(6*theta) = - |z|^8$ quindi $-> cos(6*theta) + i*sen(6*theta) = - |z|^2$

Ho sbagliato qualcosa? Ora come posso muovermi..?

Altre, migliori o più semplici, strategie...?

p.s.: supponendo che nei passaggi $z != 0$ poichè già di mio so che quando $z = 0$, ho soluzione banale nell'equazione (quindi ora cerco quelle non banali).

[theras]

Ciao!
Un esercizio simile l'ho appena visto nella sezione geometria:
stò iniziando a perdere l'orientamento forumesco,
per questo ed altri motivi..
Comunque,nella speranza di non stare ancora una volta rispondendo contemporaneamentea qualche altro utente,
ti direi di provare a vederla sotto la forma $\rho^2(cos\2theta+isen\2theta)=\rho^4(cospi+isenpi)$:
dovrebbe funzionare,una volta risolto il sistema nelle coordinate polari ad essa equivalente..
Saluti dal web.

[Simonixx]

Perchè al 2° membro poni l'angolo del coniugato pari a $pi$ ? non è $-4theta$ ?

[theras]

Pardon,ho letto troppo in fretta
(avevo l'occhio su quell'altro esercizio che ti dicevo ed avevo paura che la pasta stesse scuocendo..):
ho scambiato il coniugato col modulo!!
Va beh:
l'idea comunque non è malvagia,e se metti $pi-2\theta$ al posto di $pi$,
mi sembra ti conduca comunque da qualche parte..
Saluti dal web.

[kioccolatino90]

ragazzi per i numeri complessi vale una relazione, ovvero che $z+barz= (u+iv)+(u-iv)=2a in RR$ da questa anche dovresti giungere ad un risultato...

[ciampax]

Sinceramente non capisco due cose:
1) come fa Simonixx a dire che $z^2+\bar{z}^4$ sia la stessa cosa (moltiplicando per il coniugato) di $z^6+|z|^8$;
2) come intende usare domy quella identità (non relazione....)

Per risolvere questa equazione, basta usare la forma trigonometrica (o esponenziale) del numero complesso $z=\rho(\cos t+i\sin t)$ da cui si ricava

$\rho^2(\cos(2t)+i\sin(2t))+\rho^4=0$

Una soluzione, banale, è $\rho=0\ \Rightarrow\ z=0$. Se invece $\rho\ne 0$ si ha

$\cos(2t)+i\sin(2t)=-\rho^2$

Tale identità è verificata se e solo se

$\cos(2t)=-\rho^2,\qquad \sin(2t)=0$

Dalla seconda segue che $2t=k\pi$ e quindi $t={k\pi}{2},\ k=0,1,2,3$ (in modo da prendere valori compresi tra zero e $2\pi$). Sostituendo nella prima si ottiene

$\cos(k\pi)=(-1)^k=-\rho^2$

e quindi deve essere necessariamente $k$ dispari e $\rho=1$. Pertanto le soluzioni possibili sono

$k=1\ \Rightarrow\ z_1=1(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})=i$
$k=3\ \Rightarrow\ z_3=1(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2})=-i$

[Simonixx]

Nell'espressione in cui trasformi tutto in coordinate polari dimentichi che davanti al modulo del coniugato ci siano i suoi seni e coseni...

[ciampax]

"Simonixx":Nell'espressione in cui trasformi tutto in coordinate polari dimentichi che davanti al modulo del coniugato ci siano i suoi seni e coseni...

Ah, sorry: pensavo che l'equazione fosse $z^2+|z|^4=0$. Ok, allora la soluzione corretta è questa: posto $z=\rho(\cos t+i\sin t)$ si ha

$\rho^2(\cos(2t)+i\sin(2t))+\rho^4(\cos(4t)-i\sin(4t))=0$

da cui, come prima, una soluzione risulta $\rho=0$, mentre se $\rho\ne 0$ possiamo scrivere

$\cos(2t)+\rho^2\cos(4t)=0,\qquad \sin(2t)-\rho^2\sin(4t)=0$

Dalla seconda, usando la formula di duplicazione del seno, si ha

$\sin(2t)\cdot[1-2\rho^2\cos(2t)]=0$

per cui
$\sin(2t)=0\ \Rightarrow\ 2t=k\pi\ \Rightarrow\ t=\frac{k\pi}{2},\ k=0,1,2,3,4$
$\cos(2t)=\frac{1}{2\rho^2}$

Sostituendo nella prima equazione, che si può riscrivere come $\cos(2t)+\rho^2(2\cos^2(2t)-1)=0$ si hanno, rispettivamente, le due equazioni

$(-1)^k+\rho^2=0,\qquad \frac{1}{2\rho^2}+\rho^2(1/{2\rho^4}-1)=0$

Dalla prima si ha $\rho^2=-(-1)^k=(-1)^{k+1}$ per cui deve essere $\rho=1,\ k=1,\ 3$
Dalla seconda si ha, dopo opportune semplificazioni

$\rho^4=1$ e quindi $\rho=1$ da cui segue $\cos(2t)=1/2$ e ancora $2t=\pi/3 +2k\pi,\ 2t=-\pi/3 +2k\pi$ per cui

$t\in\{\pi/6,\ {7\pi}/6,\ {5\pi}/6,\ {11\pi}/6\}$

In definitiva l'equazione ha le seguenti soluzioni:

$z=0,\ z=i,\ z=-i,\ z=\pm 1/2(1+i\sqrt{3}),\ z=\pm1/2(1-i\sqrt{3})$

ottenute sostituendo i valori di $\rho$ e $t$ trovati.