Numeri complessi

[AlyAly2]

Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio:
Trovare tutti i numeri $ z in CC $ tali che
$ |e^(-z^k)|<1 $ e disegnarli sul piano di Argand Gauss...qualche dritta su come procedere?

[gugo82]

Come hai pensato di risolvere?

[AlyAly2]

ho pensato di applicare il logaritmo complesso ma non sono sicura che si possa scrivere
$ -z^k<2hpi $...

[gugo82]

Non si capisce se [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex] oppure è un numero reale/complesso qualsiasi.

Ad ogni modo, supponendo che l'esponente sia intero, direi: comincia ad esprimere in forma semplice [tex]$z^k$[/tex] ed a vedere ciò dove ti porta...
Tieni presente che le potenze intere dei numeri complessi si rappresentano facilmente in forma trigonometrica.

[poncelet]

@AlyAly esame di Analisi 3 Capietto/Dambrosio (Università di Torino) del 21/6/2011?

[AlyAly2]

@maxsiviero esatto, proprio quello!!ora mi sto preparando per il prossimo appello...
@ gugo82
quindi è corretto applicare il logaritmo? allora potrei scrivere:
$ |z|^k(cos(ktheta)+isin(ktheta))>2hpi $ però non riesco a capire dove mi porta questo passaggio...

[gugo82]

No, non è corretto... Ed infatti non è quello che ti ho suggerito.

Devi esplicitare [tex]$z^k$[/tex], scrivere decentemente l'esponenziale e poi fare i conti per il modulo.

Inoltre, ti prego di specificare se [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex] oppure no, perchè altrimenti il ragionamento va a farsi benedire e bisogna procedere altrimenti.

[AlyAly2]

Ah ok, non avevo capito bene...comunque si, k è un intero...allora esplicitando ottengo:
$ |e^(-|z|^k(cos(ktheta)+isin(ktheta)))|<1 $ e quindi:
$ e^(-|z|^kcos(ktheta))<1 $
e poi come dovrei proseguire?

[gugo82]

Beh, questa è una disequazione con incognite reali, quindi...

[AlyAly2]

Quindi $ |z|^kcos(ktheta)>0 $
dunque l'equazione è soddisfatta se e solo se $ pi/k>theta> -pi/k $ giusto?