Numeri complessi
ragazzi sto riguardando gli appunti e non riesco a capire il modo per trovare l' Arg z (l'argomento principale)
per esempio nell' esercizio trovare radice quadrata di -1 nel campo dei complessi si ha che z=-1 , il modulo di z = 1 e l'Arg z = pi greco. il prof lo ha trovato così al volo.. ma non capisco il ragionamento.. potreste aiutarmi??
grazie mille
per esempio nell' esercizio trovare radice quadrata di -1 nel campo dei complessi si ha che z=-1 , il modulo di z = 1 e l'Arg z = pi greco. il prof lo ha trovato così al volo.. ma non capisco il ragionamento.. potreste aiutarmi??
grazie mille
Risposte
Graficamente, sempre. Disegna nel piano complesso il vettore corrispondente a $z$.
In forma esponenziale i numeri complessi assumono la forma: $ |z| e^(i argz) $.
Graficamente vedi subito che il punto $-1$ in $CC ( RR^2 )$ sta nella semiretta $]-oo, 0]$ ed è distante 1 dallo 0 complesso.. Dunque il modulo sicuramente è 1, l'argomento, visto che è "dall'altra parte" vale $pi$ in quanto $pi$ è l'angolo compreso tra la semiretta $[0, +oo[$ e quella su cui giace il punto.
$sqrt( -1 ) = sqrt( e^(i pi ) ) = e^( i pi /2 )$
ma più facilmente...
$sqrt( -1 ) = sqrt( i^2 ) = i$.
Graficamente vedi subito che il punto $-1$ in $CC ( RR^2 )$ sta nella semiretta $]-oo, 0]$ ed è distante 1 dallo 0 complesso.. Dunque il modulo sicuramente è 1, l'argomento, visto che è "dall'altra parte" vale $pi$ in quanto $pi$ è l'angolo compreso tra la semiretta $[0, +oo[$ e quella su cui giace il punto.
$sqrt( -1 ) = sqrt( e^(i pi ) ) = e^( i pi /2 )$
ma più facilmente...
$sqrt( -1 ) = sqrt( i^2 ) = i$.
scusate ma... così per ripassare ho provato a risolverlo anche io ma non mi viene! ho usato la formula rigorosa ponendo $z^n = w$ dove $w = -1$
ora trasformo w in forma polare e mi viene che $|w| = 1 = \rho$ perfetto direi, ma l'angolo $\vartheta = 0$ percui riscrivendo
$ w = 1(cos 0 + isen 0)$
ora trasformo z in forma polare $z = \sigma( cos \phi + isen \phi)$
ora per Moivre so che:
$ sqrt(\rho) = \sigma$ e che $\phi = (\vartheta + 2k\pi)/n$ n in questo caso è 2 e k è 0, 1
ottengo 2 soluzioni:
$1(cos 0 + isen 0) = (1,0)$
e
$1(cos \pi + isen \pi) = (-1,0)$
cosa sto sbagliando???
ora trasformo w in forma polare e mi viene che $|w| = 1 = \rho$ perfetto direi, ma l'angolo $\vartheta = 0$ percui riscrivendo
$ w = 1(cos 0 + isen 0)$
ora trasformo z in forma polare $z = \sigma( cos \phi + isen \phi)$
ora per Moivre so che:
$ sqrt(\rho) = \sigma$ e che $\phi = (\vartheta + 2k\pi)/n$ n in questo caso è 2 e k è 0, 1
ottengo 2 soluzioni:
$1(cos 0 + isen 0) = (1,0)$
e
$1(cos \pi + isen \pi) = (-1,0)$
cosa sto sbagliando???
help! 
ke ho sbagliato?
ke ho sbagliato?
"tenebrikko":
$ w = 1(cos 0 + isen 0)$
Così $omega$ sarebbe uguale ad 1!. L'argomento del coseno è $pi$.
E, per utilizzare De Moivre, $n$ deve essere un intero.. Non è $2$, ma $1/2$ in questo caso.
PS: evidentemente hai elevato al quadrato i due membri: Allora è normale che ottieni due soluzioni... Perchè ti stai trovando le rappresentazioni di $1$.
grazie!
io per trovare l'angolo ho fatto $ \vartheta = arctan (y/x)$ e mi viene 0... come si fa allora in modo rigoroso con Moivre? questo esercizio è stupido ma mi aiuterà a capire dove sbaglio.. grazie!
La formula dell'argomento non è sempre quella però. Attenzione. Vedi
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#481366
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#481366
'azz! mi son dimenticato che sono nel secondo quadrante! che scemo... ti rigrazio per la pazienza 
adesso rivedendo non capisco perchè mi dovrebbe venire una sola soluzione.. cioè devo trovare le radici di quel numero complesso e dovrei trovarne 2 dato che sto estraendo da una radice quadra!
adesso rivedendo non capisco perchè mi dovrebbe venire una sola soluzione.. cioè devo trovare le radici di quel numero complesso e dovrei trovarne 2 dato che sto estraendo da una radice quadra!
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