Numeri complessi
Ho delle difficoltà nello svolgimento dei seguenti esercizi:
1) $((3+3i)z+(1+i)/z)^2=(50-50i)^2$
2) $(2iz-(1+2i)/z)^2=(6-2i)^2$
3) $(z^2+2isqrt(2)z-1)^2=-1$
Cominciamo dal primo.
Due numeri complessi hanno quadrati uguali se e solo se sono uguali o sono uno l'opposto dell'altro, quindi si risolve:
a)$(3+3i)z+(1+i)/z=50-50i$ -> $(3+3i)z^2-50(1-i)z+1+i=0$
b)$(3+3i)z+(1+i)/z=-50+50i$ -> $(3+3i)z^2+50(1-i)z+1+i=0$
Il discriminante mi viene : $delta=-1256i$
quindi $z=(25(1-i)pm(sqrt(-1256i)))/(3+3i)$
calcolo la radice quadrata di $-1256i$ ottenendo : $2(sqrt(157)-sqrt(157)i)$
per cui $z=(25(1-i)pm(2(sqrt(157)-sqrt(157)i))/(3+3i)$
in definitiva per $a)$ ottengo $z1=((-25-2sqrt(157))/3)i$
Ma mi sono fermato perchè non corrisponde al risultato che è : $z1=((sqrt5+2sqrt2)/3))i$,$z2=((-sqrt5+2sqrt2)/3)i$,$z3=((sqrt5-2sqrt2)/3)i$ e $z4=((-sqrt5-2sqrt2)/3)i$
Passiamo al secondo
Come nell'esercizio precedente faccio:
a) $2iz-(1+2i)/z=6-2i$ -> $2iz^2-2(3-i)-1-2i=0$
b) $2iz-(1+2i)/z=-6+2i$-> $2iz^2+2(3-i)-1-2i=0$
E' giusto ragionare in questa maniera???
Nell'ultimo esercizio 3) invece faccio
$z^2+2isqrt(2)z-1=sqrt(-1) -> z^2+2isqrt(2)z-1-i=0$
In questo caso mi trovo con le 2 radici ma nella soluzione ce ne sono 4 allora ho pensato che bisogna anche fare $z^2+2isqrt(2)z-1=-sqrt(-1)-> z^2+2isqrt(2)z-1+i=0$ ma in questo caso non mi trovo con le radici perchè mi verrebbero $z1=2^(1/4)cos(-3/8pi)+i(-sqrt2+2^(1/4)sin(-3/8pi))$ e $z2=-2^(1/4)cos(-3/8pi)+i(-sqrt2-2^(1/4)sin(-3/8pi))$ invece di $z1=2^(1/4)cos(5/8pi)+i(-sqrt2+2^(1/4)sin(5/8pi))$ e $z2=-2^(1/4)cos(5/8pi)+i(-sqrt2-2^(1/4)sin(5/8pi))$
1) $((3+3i)z+(1+i)/z)^2=(50-50i)^2$
2) $(2iz-(1+2i)/z)^2=(6-2i)^2$
3) $(z^2+2isqrt(2)z-1)^2=-1$
Cominciamo dal primo.
Due numeri complessi hanno quadrati uguali se e solo se sono uguali o sono uno l'opposto dell'altro, quindi si risolve:
a)$(3+3i)z+(1+i)/z=50-50i$ -> $(3+3i)z^2-50(1-i)z+1+i=0$
b)$(3+3i)z+(1+i)/z=-50+50i$ -> $(3+3i)z^2+50(1-i)z+1+i=0$
Il discriminante mi viene : $delta=-1256i$
quindi $z=(25(1-i)pm(sqrt(-1256i)))/(3+3i)$
calcolo la radice quadrata di $-1256i$ ottenendo : $2(sqrt(157)-sqrt(157)i)$
per cui $z=(25(1-i)pm(2(sqrt(157)-sqrt(157)i))/(3+3i)$
in definitiva per $a)$ ottengo $z1=((-25-2sqrt(157))/3)i$
Ma mi sono fermato perchè non corrisponde al risultato che è : $z1=((sqrt5+2sqrt2)/3))i$,$z2=((-sqrt5+2sqrt2)/3)i$,$z3=((sqrt5-2sqrt2)/3)i$ e $z4=((-sqrt5-2sqrt2)/3)i$
Passiamo al secondo
Come nell'esercizio precedente faccio:
a) $2iz-(1+2i)/z=6-2i$ -> $2iz^2-2(3-i)-1-2i=0$
b) $2iz-(1+2i)/z=-6+2i$-> $2iz^2+2(3-i)-1-2i=0$
E' giusto ragionare in questa maniera???
Nell'ultimo esercizio 3) invece faccio
$z^2+2isqrt(2)z-1=sqrt(-1) -> z^2+2isqrt(2)z-1-i=0$
In questo caso mi trovo con le 2 radici ma nella soluzione ce ne sono 4 allora ho pensato che bisogna anche fare $z^2+2isqrt(2)z-1=-sqrt(-1)-> z^2+2isqrt(2)z-1+i=0$ ma in questo caso non mi trovo con le radici perchè mi verrebbero $z1=2^(1/4)cos(-3/8pi)+i(-sqrt2+2^(1/4)sin(-3/8pi))$ e $z2=-2^(1/4)cos(-3/8pi)+i(-sqrt2-2^(1/4)sin(-3/8pi))$ invece di $z1=2^(1/4)cos(5/8pi)+i(-sqrt2+2^(1/4)sin(5/8pi))$ e $z2=-2^(1/4)cos(5/8pi)+i(-sqrt2-2^(1/4)sin(5/8pi))$
Risposte
Prova con il prendere $z$ come $a+ib$, sviluppare
quadrati, etc.,
sino ad avere un'aquazione nella forma:
$u(a,b)+iv(a,b)=0$.
Sicchè devi risolvere poi
il sistema$u(a,b)=0$ e $v(a,b)=0$.
quadrati, etc.,
sino ad avere un'aquazione nella forma:
$u(a,b)+iv(a,b)=0$.
Sicchè devi risolvere poi
il sistema$u(a,b)=0$ e $v(a,b)=0$.
scusa ma non ho capito cosa vuoi dire ! potresti spiegarti meglio ?
ha ragione orazioster,
sfrutta il fatto che [tex]z\in \mathbb{C} \; \Rightarrow \; z=a+ib\;\; a,b\in \mathbb{R}[/tex]
ti incasini meno nei conti,
a volte è utile anche la forma polare... dipende, con la pratica capirai quando è meglio l'una e quando è meglio l'altra..
sfrutta il fatto che [tex]z\in \mathbb{C} \; \Rightarrow \; z=a+ib\;\; a,b\in \mathbb{R}[/tex]
ti incasini meno nei conti,
a volte è utile anche la forma polare... dipende, con la pratica capirai quando è meglio l'una e quando è meglio l'altra..
Per esempio:
$0=(3+3i)z^2-50(1-i)z+1+i=$
$= (3+3i)(a+ib)^2 -50(1-i)(a+ib)+(1+i)=$
$=(3+3i)[(a^2 -b^2)+(2iab)]-...=...;$;
infine hai tutta una parte reale, e tutta una parte immaginaria; ed
hanno ad essere entrambe uguali a zero.
Hai così un sistema.
$0=(3+3i)z^2-50(1-i)z+1+i=$
$= (3+3i)(a+ib)^2 -50(1-i)(a+ib)+(1+i)=$
$=(3+3i)[(a^2 -b^2)+(2iab)]-...=...;$;
infine hai tutta una parte reale, e tutta una parte immaginaria; ed
hanno ad essere entrambe uguali a zero.
Hai così un sistema.
orazioster ho seguito il tuo suggerimento, ho scritto $z=a+ib$ e svolgendo vari calcoli sono arrivato a:
$3a^2-3b^2-6ab-50a-50b+1+i(3a^2-3b^2+6ab+50a-50b+1)=0$
Come dicevi prima parte reale e parte immaginaria devono essere uguali a zero quindi metto a sistema
${(i*(3a^2+6ab+50a-3b^2-50 b+1)=0),(3a^2-6ab-50a-3b^2-50b+1=0):}$
una volta ottenuto $a$ e $b$ cosa devo fare???
$3a^2-3b^2-6ab-50a-50b+1+i(3a^2-3b^2+6ab+50a-50b+1)=0$
Come dicevi prima parte reale e parte immaginaria devono essere uguali a zero quindi metto a sistema
${(i*(3a^2+6ab+50a-3b^2-50 b+1)=0),(3a^2-6ab-50a-3b^2-50b+1=0):}$
una volta ottenuto $a$ e $b$ cosa devo fare???
Secondo me vi state perdendo tutti e due in un bicchiere d'acqua: vi faccio una semplice domanda, quando risolvete le equazioni a coefficienti reali prima fate dei conti per metterle in forma normale, vero? E allora perché non li fate anche qua? Per esempio la prima diventa:
[tex]$\left[3(1+i)z+\frac{1+i}{z}\right]^2=2500(1-i)^2$[/tex]
[tex]$(1+i)^2\left[3z+\frac{1}{z}\right]^2=2500(1-i)^2$[/tex]
[tex]$2i\left(3z+\frac{1}{z}\right)^2=2500\cdot(-2i)$[/tex]
[tex]$\left(3z+\frac{1}{z}\right)^2=-2500$[/tex]
e quindi
[tex]$3z+\frac{1}{z}=\pm50 i$[/tex]
Da cui le due equazioni
[tex]$3z^2+50iz+1,\qquad 3z^2-50iz+1=0$[/tex]
che puoi risolvere come normali equazioni di secondo grado. Le altre si risolvono allo stesso modo.
[tex]$\left[3(1+i)z+\frac{1+i}{z}\right]^2=2500(1-i)^2$[/tex]
[tex]$(1+i)^2\left[3z+\frac{1}{z}\right]^2=2500(1-i)^2$[/tex]
[tex]$2i\left(3z+\frac{1}{z}\right)^2=2500\cdot(-2i)$[/tex]
[tex]$\left(3z+\frac{1}{z}\right)^2=-2500$[/tex]
e quindi
[tex]$3z+\frac{1}{z}=\pm50 i$[/tex]
Da cui le due equazioni
[tex]$3z^2+50iz+1,\qquad 3z^2-50iz+1=0$[/tex]
che puoi risolvere come normali equazioni di secondo grado. Le altre si risolvono allo stesso modo.
ciampax hai fatto una giusta osservazione ma la soluzione non corrisponede a quella del testo !!!
Le soluzioni che ottieni così sono
[tex]$z_{1,2}=\frac{-25i\pm\sqrt{-628}}{3}=\frac{-25i\pm 2i\sqrt{157}}{3}$[/tex]
[tex]$z_{3,4}=\frac{25i\pm\sqrt{-628}}{3}=\frac{25i\pm 2i\sqrt{157}}{3}$[/tex]
che sono giuste. Se provi a sostituire quelle che il testo spaccia per soluzioni, ti accorgerai che non soddisfano l'equazione.
[tex]$z_{1,2}=\frac{-25i\pm\sqrt{-628}}{3}=\frac{-25i\pm 2i\sqrt{157}}{3}$[/tex]
[tex]$z_{3,4}=\frac{25i\pm\sqrt{-628}}{3}=\frac{25i\pm 2i\sqrt{157}}{3}$[/tex]
che sono giuste. Se provi a sostituire quelle che il testo spaccia per soluzioni, ti accorgerai che non soddisfano l'equazione.
quindi sn sbagliate le soluzioni del testo? Grazie
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