Numeri complessi
Buongiorno, ho un equazione in campo comlesso che non so proprio come risolvere: z^4=(1+2i)^8 .Qualche idea, grazie mille in anticipo.
Risposte
E' piuttosto semplice credo. Si tratta di calcolare le radici quarte di un numero complesso z. Ovviamente prima converrebbe trasformare il numero in forma esponenziale.
Io ho provato a trasformare 1+2i in forma trigonometrica ma non sono angoli noti dovrei sapere quanto vale il cos(1/sqrt(5)).
Per curiosità sono andato a rivedere i miei appunti. Non ricordavo proprio come procedere se gli angoli non sono notevoli. Non ho trovato un esempio proprio uguale al tuo ma io procederei come segue, ovviamente prendi i miei suggerimenti con le pinze e se c'è qualcosa che per te non quadra dimmelo:
semplifichiamo la scrittura $z^4=(1+2i)^8$ che diventa $z=$+/-$sqrt(1+2i)$ . Ora ci ritroviamo a calcolare, in due casi differenti, le radici seconde del numero $J=(1+2i)$. Scegliamo il caso con il +.
Il modulo di J è $sqrt(5)$ e quindi il numero può essere scritto come $sqrt(5)(1/sqrt(5)+2/sqrt(5)i)$ quindi il nostro angolo $T$ ha (scusa ma non so come si fanno le lettere greche):
$cosT=1/sqrt(5)$ e $sinT=2/sqrt(5)$ . Nel frattempo però chiamiamo il nostro angolo incognito T, facciamo finta che esso sia noto, trasformiamo il numero in forma esponenziale e calcoliamo le radici con la "formulona ". Gli angoli di questi due numeri complessi risultanti, sempre usando la "formulona", dovrebbero essere $T/2$ e $T/2$+pigreco. Ricordandoci però che $cosT$ e $sinT$ sono noti, possiamo ricavare grazie alle formule di bisezione $cos$ e $sin$ di $(T/2)$ e $cos$ e $sin$ di$(T/2$+pigreco) e quindi scrivere la forma trigonometrica delle soluzioni.
semplifichiamo la scrittura $z^4=(1+2i)^8$ che diventa $z=$+/-$sqrt(1+2i)$ . Ora ci ritroviamo a calcolare, in due casi differenti, le radici seconde del numero $J=(1+2i)$. Scegliamo il caso con il +.
Il modulo di J è $sqrt(5)$ e quindi il numero può essere scritto come $sqrt(5)(1/sqrt(5)+2/sqrt(5)i)$ quindi il nostro angolo $T$ ha (scusa ma non so come si fanno le lettere greche):
$cosT=1/sqrt(5)$ e $sinT=2/sqrt(5)$ . Nel frattempo però chiamiamo il nostro angolo incognito T, facciamo finta che esso sia noto, trasformiamo il numero in forma esponenziale e calcoliamo le radici con la "formulona ". Gli angoli di questi due numeri complessi risultanti, sempre usando la "formulona", dovrebbero essere $T/2$ e $T/2$+pigreco. Ricordandoci però che $cosT$ e $sinT$ sono noti, possiamo ricavare grazie alle formule di bisezione $cos$ e $sin$ di $(T/2)$ e $cos$ e $sin$ di$(T/2$+pigreco) e quindi scrivere la forma trigonometrica delle soluzioni.
"scimmione":
Io ho provato a trasformare 1+2i in forma trigonometrica ma non sono angoli noti dovrei sapere quanto vale il cos(1/sqrt(5)).
Scusa la franchezza, ma qual è il problema?
Vuoi dire che se in un calcolo trovi dei numeri diversi da [tex]$1,2,5$[/tex] o [tex]$10$[/tex] allora non risolvi il problema?
Chiama [tex]$\theta =\text{Arg} (1+2\imath)$[/tex] e vai avanti.
Oppure basta saper usare le funzioni arcoseno e arcocoseno (stando attenti a dove son definite) che sono nate appunto per trattar angoli "non notevoli"...
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