Numeri complessi
Qualcuno potrebbe per favore darmi una dimostrazione a questa proposizione: dato un polinomio a coefficienti reali le radici complesse sono a due a due coniugate.
Domani ho l'esame orale, ma non riesco proprio a capire la dimostrazione di questa proposizione.
Domani ho l'esame orale, ma non riesco proprio a capire la dimostrazione di questa proposizione.
Risposte
sia $p(x)=\sum a_i x^{i}$ il tuo polinomio con $a_i \in RR$ e sia $\alpha\in CC$ radice complessa di $p(x)$ allora
$p(\bar{\alpha})=\sum a_i (\bar\alpha)^{i}=\sum a_i \bar{\alpha^{i}}=\sum\bar{a_i}\bar{\alpha^{i}}=\bar{\sum a_i \alpha^{i}}=\bar{p(\alpha)}=0$
quindi $\bar\alpha$ è zero di $p(x)$.
ti faccio osservare che in
$\sum a_i (\bar\alpha)^{i}=\sum a_i \bar{\alpha^{i}}$ ho utilizzato il fatto che $\bar{cb}=\bar{c}\bar{b}$
in
$\sum\bar{a_i}\bar{\alpha^{i}}=\bar{\sum a_i \alpha^{i}}$ di nuovo la linearità del coniugio.
e infine in
$\sum a_i \bar{\alpha^{i}}=\sum\bar{a_i}\bar{\alpha^{i}}$ ho utilizzato il fatto che $\bar a_i=a_i$ poichè sono reali
ciao
$p(\bar{\alpha})=\sum a_i (\bar\alpha)^{i}=\sum a_i \bar{\alpha^{i}}=\sum\bar{a_i}\bar{\alpha^{i}}=\bar{\sum a_i \alpha^{i}}=\bar{p(\alpha)}=0$
quindi $\bar\alpha$ è zero di $p(x)$.
ti faccio osservare che in
$\sum a_i (\bar\alpha)^{i}=\sum a_i \bar{\alpha^{i}}$ ho utilizzato il fatto che $\bar{cb}=\bar{c}\bar{b}$
in
$\sum\bar{a_i}\bar{\alpha^{i}}=\bar{\sum a_i \alpha^{i}}$ di nuovo la linearità del coniugio.
e infine in
$\sum a_i \bar{\alpha^{i}}=\sum\bar{a_i}\bar{\alpha^{i}}$ ho utilizzato il fatto che $\bar a_i=a_i$ poichè sono reali
ciao
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