Numeri Complessi
Salve a tutti e scusatemi per questa stupidaggine..ma volevo chiedervi se potevate aiutarmi a risolvere delle equazioni sui numeri complessi. Ne metto più di uno in modo tale da capire il ragionamento in diverse situazioni. Grazie ancora!
$ (z-i)^3 = 8 $
$ (z^3+i)i = 0 $
$ z^4= -8 -i(radicequadrata 192) $
$ (z-i)^3 = 8 $
$ (z^3+i)i = 0 $
$ z^4= -8 -i(radicequadrata 192) $
Risposte
benvenuto nel forum.
in attesa di chiarimenti sulla terza e di interventi di altri, ti posso suggerire due metodi semplici per le prime due:
alla prima ti conviene ricorrere ad una incognita ausiliaria: trovate le tre radici cubiche di $8$, a ciascuna poi aggiungi $i$;
per la seconda vale la legge di annullamento del prodotto.
per la terza, ammesso che abbia capito il testo, sicuramente gente più abituata di me a risolvere questo tipo di esercizio ti suggerirà di usare la formula di De Moivre, io potrei anche suggerirti un metodo più tradizionale, quello di scrivere $z=x+iy$
in attesa di chiarimenti sulla terza e di interventi di altri, ti posso suggerire due metodi semplici per le prime due:
alla prima ti conviene ricorrere ad una incognita ausiliaria: trovate le tre radici cubiche di $8$, a ciascuna poi aggiungi $i$;
per la seconda vale la legge di annullamento del prodotto.
per la terza, ammesso che abbia capito il testo, sicuramente gente più abituata di me a risolvere questo tipo di esercizio ti suggerirà di usare la formula di De Moivre, io potrei anche suggerirti un metodo più tradizionale, quello di scrivere $z=x+iy$
in risposta al PM, aggiungo qualche altro indizio per le prime due.
se poni $z-i=w$, avrai prima da risolvere $w^3=8$.
sai che l'unica soluzione reale è $w=2$ e le altre due soluzioni sono complesse coniugate, hanno modulo $2$ e sono poste, nel piano complesso, ai vertici di un triangolo equilatero (inscritto in una circonferenza con centro nell'origine) di cui l'altro vertice è dato da $(2,0)$, cioè dalla soluzione reale?
inoltre, spiegazione della seconda, hai un prodotto di due fattori uguagliato a zero: per la legge di annullamento del prodotto almeno uno dei due fattori deve essere zero.
il secondo ($i$) non lo è, dunque deve essere nullo il primo: ($z^3+i=0$), cioè $z^3=-i$. a questo punto valgono le stesse osservazioni sul triangolo equilatero fatte per $w$, solo che un vertice è $(0,1)$ perché una soluzione è data da $z=i$.
spero di essere stata utile. prova a ragionarci su e facci sapere.
se non sai quello che ti ho accennato sul "triangolo equilatero", ti conviene rivederti la teoria, altrimenti prova a cimentarti, scrivi i passaggi e chiedi eventualmente altri chiarimenti. ciao.
se poni $z-i=w$, avrai prima da risolvere $w^3=8$.
sai che l'unica soluzione reale è $w=2$ e le altre due soluzioni sono complesse coniugate, hanno modulo $2$ e sono poste, nel piano complesso, ai vertici di un triangolo equilatero (inscritto in una circonferenza con centro nell'origine) di cui l'altro vertice è dato da $(2,0)$, cioè dalla soluzione reale?
inoltre, spiegazione della seconda, hai un prodotto di due fattori uguagliato a zero: per la legge di annullamento del prodotto almeno uno dei due fattori deve essere zero.
il secondo ($i$) non lo è, dunque deve essere nullo il primo: ($z^3+i=0$), cioè $z^3=-i$. a questo punto valgono le stesse osservazioni sul triangolo equilatero fatte per $w$, solo che un vertice è $(0,1)$ perché una soluzione è data da $z=i$.
spero di essere stata utile. prova a ragionarci su e facci sapere.
se non sai quello che ti ho accennato sul "triangolo equilatero", ti conviene rivederti la teoria, altrimenti prova a cimentarti, scrivi i passaggi e chiedi eventualmente altri chiarimenti. ciao.
Mi ci sono messo e sono venuti! Grazie! Ma nel caso si presenti sia la parte reale che l' i?
$ z^3= 8-i $
$ z^3= 8-i $
prego!
questo immagino sia un altro esercizio... perché non è come i simili scritti in precedenza.
in questo tipo di esercizio, io non ho molta dimestichezza nel cercare vie brevi, con de Moivre.
io scriverei $z=x+iy$, svolgerei il cubo del binomio ed imposterei il sistema uguagliando a zero la parte reale e la parte immaginaria di $(x+iy)^3-8+i$.
questo immagino sia un altro esercizio... perché non è come i simili scritti in precedenza.
in questo tipo di esercizio, io non ho molta dimestichezza nel cercare vie brevi, con de Moivre.
io scriverei $z=x+iy$, svolgerei il cubo del binomio ed imposterei il sistema uguagliando a zero la parte reale e la parte immaginaria di $(x+iy)^3-8+i$.
Noi la formula di De Moivre non l'abbiamo fatta quindi direi di non cimentarmi neanche in un impresa assai ardua! Comunque uguagliando e seguendo il tuo ragionamente verrebbe $ x^3 + i^3 y^3 + 3 x^2 iy + 3 x i^2 y^2 -8 +i = 0$ giusto? Ma in seguito poi cosa bisogna fare ?
a parte qualche errorino di trascrizione, stai attento ai segni e non portarti avanti le potenze di $i$, tenendo conto che $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=+1$.
dopo separa i termini reali (senza $i$) dai termini immaginari (con $i$), raccogliendo $i$ in questi ultimi.
corro perché sto cucinando. fammi sapere.
dopo separa i termini reali (senza $i$) dai termini immaginari (con $i$), raccogliendo $i$ in questi ultimi.
corro perché sto cucinando. fammi sapere.
Ok, allora separando le parti verrebbe:
$ x^3 - y^3 -3xy^2 = -i (3xy+1) +8 $
Il cubo del binomio era positivo, poi come hai detto tu ho sostituito la i con i suoi valori con il variare della potenza.ho raccolto e mi viene cosi.
$ x^3 - y^3 -3xy^2 = -i (3xy+1) +8 $
Il cubo del binomio era positivo, poi come hai detto tu ho sostituito la i con i suoi valori con il variare della potenza.ho raccolto e mi viene cosi.
no, il cubo del binomio non viene così. il termine con $y^3$ è immaginario. ricorda le relazioni che ti ho scritto sulle potenze di $i$. inoltre $8$ è reale.
poi, separare le due parti così non serve a nulla, ma va impostato il sistema.
ti scrivo quello che viene a me. potrei anche avere sbagliato qualche conto, però tu riprova e confronta il risultato.
${[x^3-3xy^2-8=0],[i(-y^3+3x^2y+1)=0] :}$
dove, ovviamente, non serve scrivere $i$ (l'ho messo per farti ricontrollare i conti).
poi, separare le due parti così non serve a nulla, ma va impostato il sistema.
ti scrivo quello che viene a me. potrei anche avere sbagliato qualche conto, però tu riprova e confronta il risultato.
${[x^3-3xy^2-8=0],[i(-y^3+3x^2y+1)=0] :}$
dove, ovviamente, non serve scrivere $i$ (l'ho messo per farti ricontrollare i conti).
Ok grazie mille e scusami se ti ho fatto perdere tutto questo tempo!
prego. non preoccuparti, siamo volontari ed interveniamo quando ci va di farlo.
piuttosto mi dispiace se siamo arrivati ad una forma non risolvibile facilmente. sai andare avanti? era un esempio così inventato da te per imparare il metodo?
piuttosto mi dispiace se siamo arrivati ad una forma non risolvibile facilmente. sai andare avanti? era un esempio così inventato da te per imparare il metodo?
Sisi era inventata da me per capire solamente il metodo! Grazie mille ancora! 
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