Numeri complessi
domanda banale banale: come si fanno a ricavare i valori di k in una equazione di numeri complessi come questa:
$z^4 + z^2 + 1 =0$
$z^4 + z^2 + 1 =0$
Risposte
I valori di $k$? Se stavi parlando di $z$ comincia con il sostituire $t=z^2$ e risolvere l'equazione di secondo grado associata. Poi dovrai (forse meglio potrai, dato che non è l'unico modo) utilizzare le formule di De Moivre per ottenere tutte le soluzioni.
Se io volessi risolvere trasformande le variabili z in coordinate polari avrei che $ z=\rho*e^(i\theta)$, dopodiche dovrei mettere a sistema i valori assoluti delle variabili con i $\theta$ in questo modo:
${(\rho^4 + \rho^2 +1=0),(4\theta + 2\theta +2k\pi=0):}
Il k di cui parlo io è quello che si inserisce d'obbligo nella seconda equazione dove ci sono gli angoli e sò che deve avere dei valori tipo 0,1,2 etc.. e penso sia a seconda del grado dell'equazione originale ma non lo sò per certo. Il k serve poi per sostituirlo nella formula di De Moivre
${(\rho^4 + \rho^2 +1=0),(4\theta + 2\theta +2k\pi=0):}
Il k di cui parlo io è quello che si inserisce d'obbligo nella seconda equazione dove ci sono gli angoli e sò che deve avere dei valori tipo 0,1,2 etc.. e penso sia a seconda del grado dell'equazione originale ma non lo sò per certo. Il k serve poi per sostituirlo nella formula di De Moivre
Ti ho spiegato come risolvere questa equazione e, sinceramente, non capisco da dove tu abbia ricavato quel sistema. Una volta ottenuto i valori di $t$, chiamiamoli $t_1$ e $t_2$, per ottenere i valori di $z$ dovrai risolvere le equazioni:
$z^2=t_(1,2)$
Il valore di $k$ che tiene conto della periodicità in genere è tale da selezionare i valori per un singolo giro intorno alla circonferenza trigonometrica. Vanno da $0$ a $n-1$ con, nel nostro caso, $n=2$.
$z^2=t_(1,2)$
Il valore di $k$ che tiene conto della periodicità in genere è tale da selezionare i valori per un singolo giro intorno alla circonferenza trigonometrica. Vanno da $0$ a $n-1$ con, nel nostro caso, $n=2$.
Ok ho capito come si trova k, grazie. Il metodo delle coordinate polari l'ho trovato sul mio eserciziario ed è consigliato quando non si ha di fronte un'equazione alla quale si può operare la sostituzione $z^2=t$, ma in una espressione del genere: $|z|*z=2\bar z$
Sono totalmente d'accordo con quest'ultima affermazione. Infatti, due numeri complessi sono uguali tra loro se hanno medesimi modulo e fase. Ma il sistema che hai riportato prima è sbagliato.
Propongo una risoluzione un po' alternativa.
Allora l'equazione di partenza è
$z^4 + z^2 + 1 = 0$
aggiungo $z^2$ a destra e a sinistra, ottenendo
$z^4 + 2 z^2 + 1 = z^2$
quindi
$(z^2 + 1)^2 = z^2$
a questo punto mi vado a risolvere le due equazioni
$z^2 + 1 = z$ e $z^2 + 1 = -z$
ottenendo le seguenti soluzioni:
$z_1 = 1/2 + sqrt(3)/2 * I $
$z_2 = 1/2 - sqrt(3)/2 * I $
$z_3 = -1/2 + sqrt(3)/2 * I $
$z_4 = -1/2 - sqrt(3)/2 * I $
Allora l'equazione di partenza è
$z^4 + z^2 + 1 = 0$
aggiungo $z^2$ a destra e a sinistra, ottenendo
$z^4 + 2 z^2 + 1 = z^2$
quindi
$(z^2 + 1)^2 = z^2$
a questo punto mi vado a risolvere le due equazioni
$z^2 + 1 = z$ e $z^2 + 1 = -z$
ottenendo le seguenti soluzioni:
$z_1 = 1/2 + sqrt(3)/2 * I $
$z_2 = 1/2 - sqrt(3)/2 * I $
$z_3 = -1/2 + sqrt(3)/2 * I $
$z_4 = -1/2 - sqrt(3)/2 * I $
"franced":
Propongo una risoluzione un po' alternativa [...]
decisamente più elegante...
"piero_":
[quote="franced"]Propongo una risoluzione un po' alternativa [...]
decisamente più elegante...[/quote]
Grazie!
"K.Lomax":
Sono totalmente d'accordo con quest'ultima affermazione. Infatti, due numeri complessi sono uguali tra loro se hanno medesimi modulo e fase. Ma il sistema che hai riportato prima è sbagliato.
Ok, allora quando avrò di fronte una equazione del tipo opererò con la sostituzione, troverò le radici e quindi le soluzioni in base ai valori di k. Oppure la soluzione di Franced, se vedo che sia facile e immediata applicarla.
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