Numeri complessi
$\z^2=(-1+sqrt3i)^11
come si procede per questo esercizio?????
come si procede per questo esercizio?????
Risposte
Di solito, quando devi fare potenze paurose di numeri complessi, ti conviene portare il numero in forma trigonometrica, e poi elevare quella, così da semplificare i conti..
E poi devi trovare le radici seconde di quel numero che hai ottenuto.
Prova a postare la risoluzione con questa strada.
E poi devi trovare le radici seconde di quel numero che hai ottenuto.
Prova a postare la risoluzione con questa strada.
Che cosa è richiesto ?
Se devo calcolare la potenza 11 del numero complesso trasformalo da algebrico a forma esponenziale o trigonometrica .
Se devo calcolare la potenza 11 del numero complesso trasformalo da algebrico a forma esponenziale o trigonometrica .
è una traccia di esame dove non c'è la soluzione(non posso provare se poi non posso confrontare con il risultato) e non c'è nemmeno la richiesta..sapreste impostarmi il problema?
Penso ti si chieda di determinare le soluzioni di quella equazione in $z$.
Hai una cosa del tipo $"polinomio di secondo grado"=0$; visto che $CC$ è algebricamente chiuso (nel senso che ogni polinomio con coefficienti complessi ha in $CC$ tutte le sue radici) e visto che un polinomio di grado $n$ ha esattamente $n$ radici (contate con la loro molteplicità), è chiaro che la tua equazione ha due soluzioni in $CC$, eventualmente coincidenti.
Ora, nel caso specifico hai:
$z^2=(-1+\sqrt(3)"i")^(11)$
quindi le soluzioni sono le due radici quadrate del termine noto.
Visto che per calcolare le potenze e le radici è molto più indicato passare alla forma trigonometrica, il consiglio è di scrivere $(-1+\sqrt(3)"i")^(11)$ in forma trigonometrica (per fare questo occorre innanzitutto determinare la forma trigonometrica di $-1+\sqrt(3)"i"$ e poi applicare le regole di calcolo) e poi calcolare le due radici del termine noto con la nota formula.
Ci vuole più a dirlo che a farlo; per risolvere ti ci vogliono solo due minuti di conticini, niente più.
Buon lavoro.
Hai una cosa del tipo $"polinomio di secondo grado"=0$; visto che $CC$ è algebricamente chiuso (nel senso che ogni polinomio con coefficienti complessi ha in $CC$ tutte le sue radici) e visto che un polinomio di grado $n$ ha esattamente $n$ radici (contate con la loro molteplicità), è chiaro che la tua equazione ha due soluzioni in $CC$, eventualmente coincidenti.
Ora, nel caso specifico hai:
$z^2=(-1+\sqrt(3)"i")^(11)$
quindi le soluzioni sono le due radici quadrate del termine noto.
Visto che per calcolare le potenze e le radici è molto più indicato passare alla forma trigonometrica, il consiglio è di scrivere $(-1+\sqrt(3)"i")^(11)$ in forma trigonometrica (per fare questo occorre innanzitutto determinare la forma trigonometrica di $-1+\sqrt(3)"i"$ e poi applicare le regole di calcolo) e poi calcolare le due radici del termine noto con la nota formula.
Ci vuole più a dirlo che a farlo; per risolvere ti ci vogliono solo due minuti di conticini, niente più.
Buon lavoro.
Se non è scritto altro dei calcolare i valori di z che verifichino l'equazione. Come ti è gia stato consigliato conviene trasformare in forma trigonometrica. I passi da compiere sono:
1) trasforma la base della potenza in forma goniometrica
2) calcola la potenza unicesima
3) estrai le radici quadrate complesse
4) riporta il risultato in forma algebrica
5) posta tutti i tuoi calcoli nel forum e sono certa che troverai qualcuno disposto a correggerli.
1) trasforma la base della potenza in forma goniometrica
2) calcola la potenza unicesima
3) estrai le radici quadrate complesse
4) riporta il risultato in forma algebrica
5) posta tutti i tuoi calcoli nel forum e sono certa che troverai qualcuno disposto a correggerli.
allora.....prendendo in considerazione solo $\z^2=-1+sqrt3i
ho $\theta=2/3pi$
in forma trigonometrica:
$\omega_0=[sqrt2,pi/3]
$\omega_1=[sqrt2,4pi/3]
ora per considerare le due soluzioni di $\z^2=(-1+sqrt3i)^11$come faccio?
ho $\theta=2/3pi$
in forma trigonometrica:
$\omega_0=[sqrt2,pi/3]
$\omega_1=[sqrt2,4pi/3]
ora per considerare le due soluzioni di $\z^2=(-1+sqrt3i)^11$come faccio?
Ora devi elevare alla $11$ entrambe le radici.
$\omega_0=[2^(11/2),(pi/3)^(11)]
$\omega_1=[2^(11/2),(4pi/3)^(11)]
cosi????
$\omega_1=[2^(11/2),(4pi/3)^(11)]
cosi????
Calma e sangue freddo.
1) trasforma la base della potenza in forma goniometrica $ -1+sqrt3i= 2(cos (2/3pi) + i sin (2/3pi))$
2) calcola la potenza unicesima $(-1+sqrt3i)^11 = [2(cos (2/3pi) + i sin (2/3pi))]^11= 2^11 * (cos (22/3pi) + i sin (22/3pi))=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))$
adesso l'esercizio è diventato $\z^2=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))$ e di questo devi estrarre le radici quadrate
1) trasforma la base della potenza in forma goniometrica $ -1+sqrt3i= 2(cos (2/3pi) + i sin (2/3pi))$
2) calcola la potenza unicesima $(-1+sqrt3i)^11 = [2(cos (2/3pi) + i sin (2/3pi))]^11= 2^11 * (cos (22/3pi) + i sin (22/3pi))=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))$
adesso l'esercizio è diventato $\z^2=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))$ e di questo devi estrarre le radici quadrate
"@melia":
Calma e sangue freddo.
1) trasforma la base della potenza in forma goniometrica $ -1+sqrt3i= 2(cos (2/3pi) + i sin (2/3pi))$
2) calcola la potenza unicesima $(-1+sqrt3i)^11 = [2(cos (2/3pi) + i sin (2/3pi))]^11= 2^11 * (cos (22/3pi) + i sin (22/3pi))=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))$
adesso l'esercizio è diventato $\z^2=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))$ e di questo devi estrarre le radici quadrate
allora,il primo passo ci siamo,il secondo non mi trovo.....dovrebbe essere$(-1+sqrt3i)^11 = [2(cos (2/3pi) + i sin (2/3pi))]^11= 2^11 * (cos (22/3pi) + i sin (22/3pi))^11=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))^11$
No, @melia ha utilizzato le formule di De moivre.
$(cos x+ i sin x)^n = cos(n x)+ i sin (n x)$
$(cos x+ i sin x)^n = cos(n x)+ i sin (n x)$
ah ok..scusate ma non l'avevo mai sentita 
"siamo"arrivati qui $\z^2=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))$
come si procede?
"siamo"arrivati qui $\z^2=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))$
come si procede?
Estrai la radice come hai fatto prima, ovviamente.
ma ora c'è quel 2^11 li davanti e le funzioni seno e coseno:S
Ma la formula per calcolare le radici di un numero complesso in forma trigonometrica la conosci?
Altrimenti qui stiamo a smacchiare giaguari...
Altrimenti qui stiamo a smacchiare giaguari...
"Gugo82":
Ma la formula per calcolare le radici di un numero complesso in forma trigonometrica la conosci?
Altrimenti qui stiamo a smacchiare giaguari...
Non l'avevo mai sentita, efficace e originale
Nasce dalla fantasia partenopea ?
[OT]
Non l'avevo mai sentita, efficace e originale
Nasce dalla fantasia partenopea ?[/quote]
Devo dire che me l'ha suggerita una mia collega, ma non so se è sua.
Mi informo e ti faccio sapere...
[/OT]
"Camillo":
[quote="Gugo82"]Altrimenti qui stiamo a smacchiare giaguari...
Non l'avevo mai sentita, efficace e originale
Nasce dalla fantasia partenopea ?[/quote]
Devo dire che me l'ha suggerita una mia collega, ma non so se è sua.
Mi informo e ti faccio sapere...
[/OT]
$\z^2=2^11 * (cos (4/3pi) + i sin (4/3pi))$
$\omega_0=[2^(11/2), 4/6pi]$
$\omega_1=[2^(11/2), 5/3pi]$
si trova?
$\omega_0=[2^(11/2), 4/6pi]$
$\omega_1=[2^(11/2), 5/3pi]$
si trova?
Ok, ma potevi semplificare. 
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