NUMERI COMPLESSI

[piccola881]

calcolare l'area di un poligono convesso i cui vertici sono le soluzioni dell'equazione
(z+3i)^4+4=0

[_nicola de rosa]

"piccola88":calcolare l'area di un poligono convesso i cui vertici sono le soluzioni dell'equazione
(z+3i)^4+4=0

Le soluzioni sono:
$z_(0,1,2,3)=-3i+sqrt(2)*e^(i*(pi/4+kpi/2))$ con $k=0,1,2,3$
$z_0=-3i+sqrt(2)*e^(i*pi/4)=-3i+sqrt(2)*sqrt(2)/2*(1+i)=-3i+1+i=1-2i$
$z_1=-3i+sqrt(2)*e^(i*3pi/4)=-3i+sqrt(2)*sqrt(2)/2*(-1+i)=-3i-1+i=-1-2i$
$z_2=-3i+sqrt(2)*e^(i*5pi/4)=-3i+sqrt(2)*sqrt(2)/2*(-1-i)=-3i-1-i=-1-4i$
$z_3=-3i+sqrt(2)*e^(i*7pi/4)=-3i+sqrt(2)*sqrt(2)/2*(1-i)=-3i+1-i=1-4i$

Rappresenta i vertici del poligono $(1,-2),(-1,-2),(-1,-4),(1,-4)$ in un piano cartesiano e trova l'area

[piccola881]

potresti scrivermi i passaggi da cui se arrivato a quelle soluzioni?
grazie mille!!

[kekko989]

fai una sostituzione del tipo $w=z+3i$ e riscrivere $w^4=-4$ ricordando che $-4=4(cospi+isinpi)$ usi le formule di De Moivre,ovvero $w_(1,2,3,4)=root(4)(4)(cos(pi/4+2kpi/4)+isin(cos(pi/4+2kpi/4) con 0<=k<=3$

[piccola881]

non ho capito come faccio a trovare $\pi\\4$

dato che ho $w=root(4)(-4)$

$\rho=sqrt(-4^2+0^2)=4$

$\{(cos\theta=-4\\rho),(sen\theta=0\\rho):}$ $\{(cos\theta=-4\\4),(sen\theta=0\\4):}$

in questo caso mi esce un'anomalia perchè dall'inverso del coseno mi esce che $\theta=\pi$ e dall'inverso del seno mi esce $\theta=0$

[clockover]

Nessuna anomalia perchè $cos\theta = -1$ e $sin\theta = 0$ e l'angolo è dunque $\pi$

la regola generale per trovarti le $n$ radici complesse è

$root(n)(\rho) * (cos[1/n(\theta + 2k\pi)] + sin[1/n(\theta + 2k\pi)])$

[piccola881]

ma scusa se $cos\theta=-1$ allora $\theta=pi$ mentre se $sin\theta=0$allora $\theta=0

l'arcoseno di $\theta$ è zero non $\pi$

[clockover]

"piccola88":ma scusa se $cos\theta=-1$ allora $\theta=pi$ mentre se $sin\theta=0$allora $\theta=0

l'arcoseno di $\theta$ è zero non $\pi$

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Unit_ ... angles.svg

[piccola881]

visto...xo dovrebbe trovarsi anke con la calcolatrice?!?!
ho fatto alcune prove e x gli altri angoli si trovano,mentre per l'angolo di 180° no..........è l'unico caso?

[clockover]

"piccola88":visto...xo dovrebbe trovarsi anke con la calcolatrice?!?!
ho fatto alcune prove e x gli altri angoli si trovano,mentre per l'angolo di 180° no..........è l'unico caso?

Metti a dormire la calcolatrice! Per queste cose non serve a nulla! Guarda bene l'immagine che ti ho linkato e scoprirai che nella maggior parte delle volte negli esercizi avrai solo angoli noti come quelli! Se hai un coseno che vale $(sqrt3)/2$ e un seno di $-1/2$ non avrai bisogno di fare i conti, si tratta di un angolo noto, ed è $11/6 \pi$! Angoli come $\pi/4$, $3/4\pi$, ecc..
datti uno sguardo anche a questo link potrebbe esserti utile http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_trigonometrica