Numeri complessi 4
cercare i numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^3 - |z|^2 =0$
scrivo z in forma algebrica $z= x + i y$ e l'equazione diventa $(x + iy)^3=x^2 + y^2$ o meglio $x^3 -3xy^2 +i(3x^2 y - y^3 ) = x^2 + y^2$
negli appunti che ho la equivalgono al sistema in cui la prima equazione è $x^3 -3xy^2 = x^2 + y^2$ e la seconda è $3x^2 y - y^3=0$
chi mi spiega in che modo si è ottenuto questo sistema??
grazie
scrivo z in forma algebrica $z= x + i y$ e l'equazione diventa $(x + iy)^3=x^2 + y^2$ o meglio $x^3 -3xy^2 +i(3x^2 y - y^3 ) = x^2 + y^2$
negli appunti che ho la equivalgono al sistema in cui la prima equazione è $x^3 -3xy^2 = x^2 + y^2$ e la seconda è $3x^2 y - y^3=0$
chi mi spiega in che modo si è ottenuto questo sistema??
grazie
Risposte
Uguagliando tra loro, nei due membri, le parti reali $x^3-3xy^2=x^2+y^2$ e le parti immaginarie $0=3x^2y-y^3$
Siccome:
$x^3 -3xy^2 +i(3x^2 y - y^3 ) = x^2 + y^2$
puoi riscriverla come:
$x^3-3xy^2-x^2-y^2+i(3x^2y-y^3)=0
Puoi sfruttare il fatto che un numero complesso è uguale a zero solo se la sua parte reale e parte immaginaria sono zero. Quindi puoi mettere a sistema parte reale e immaginaria eguagliando entrambe a zero: $x^3-3xy^2-x^2-y^2=0$ e $3x^2y-y^3=0$
$x^3 -3xy^2 +i(3x^2 y - y^3 ) = x^2 + y^2$
puoi riscriverla come:
$x^3-3xy^2-x^2-y^2+i(3x^2y-y^3)=0
Puoi sfruttare il fatto che un numero complesso è uguale a zero solo se la sua parte reale e parte immaginaria sono zero. Quindi puoi mettere a sistema parte reale e immaginaria eguagliando entrambe a zero: $x^3-3xy^2-x^2-y^2=0$ e $3x^2y-y^3=0$
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