Numeri complessi

[adriano e daje!!!]

ragazzi scusate ho un problema con questa equazione di numeri complessi
z^2 - z|z| + 1 = 0
come si risolve?????
grazie a tutti!!!!!

[fireball1]

Prova a procedere in questo modo:
chiama $z=x+iy$ e una volta che hai
separato la parte reale da quella immaginaria,
passa a coordinate polari ed otterrai il sistema:
${(rho^2cos(2theta)-rho^2costheta+1=0),(rho^2sin(2theta)+rho^2sintheta=0):}

[_prime_number]

$z=a +ib$
$(a+ ib)^2 - (a +ib) sqrt(a^2 +b^2) +1=0$
$a^2 -b^2 + 2iab - (a +ib) sqrt(a^2 + b^2) = -1$
$2ab - b sqrt(a^2 + b^2) = 0$=> $2a = sqrt(a^2 + b^2)$ => $4a^2 = a^2 + b^2$ => $a=b/sqrt(3)$ o $a= -b/sqrt(3)$
$a^2 - b^2 - a sqrt(a^2 + b^2) = -1$ => $a^2 - 3a^2 - a sqrt(a^2 + 3a^2) =-1$...
Ecco, da qui puoi continuare tu..
Spero di non aver fatto errori di calcolo!

Paola

[_nicola de rosa]

"adriano e daje!!!":ragazzi scusate ho un problema con questa equazione di numeri complessi
z^2 - z|z| + 1 = 0
come si risolve?????
grazie a tutti!!!!!

$z=rho*e^(i*theta),rho>=0,theta in [0,2pi]$ cioè utilizziamo la forma polare.
Allora l'equazione diventa
$rho^2*e^(i*2*theta)-rho^2*e^(i*theta)+1=0$ ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha:
${(rho^2*cos(2*theta)-rho^2*cos(theta)+1=0),(rho^2*sin(2*theta)-rho^2*sin(theta)=0):}$
Dalla seconda otteniamo $rho^2(sin(2*theta)-sin(theta))=0 $ $ <=>$ $rho=0$ U $sin(2*theta)-sin(theta)=0$
Ora $rho=0$ sosituita nella prima fornisce $1=0$ cioè $rho=0$ non è soluzione dell'equazione, mentre
$sin(2*theta)-sin(theta)=2sin(theta)cos(theta)-sin(theta)=sin(theta)*(2cos(theta)-1)=0$ $<=>$ $theta=kpi$ $U$ $theta=+-pi/3+2kpi$ $k in ZZ$
Ora se $theta=kpi$ sostituendo nella prima si ha:
$rho^2*cos(2kpi)-rho^2*cos(kpi)+1=0$. Ora $cos(2kpi)=1$ e se $k$ è dispari allora $cos(kpi)=-1$ per cui l'equazione diventa $2*rho^2+1=0$ cioè non ha soluzioni nei rea li; se $k$ è pari allora $cos(kpi)=1$ per cui l'equazione diventa $1=0$ e quindi impossibile.

Ci rimane da vedere solo per $theta=+-pi/3$.
Se $theta=pi/3->cos(2/3*pi)=-1/2,cos(pi/3)=1/2$ per cui l'equazione diventa $-2rho^2+1=0$ che ha come soluzione reale positiva $rho=1/(sqrt2)$ per cui una soluzione è $1/(sqrt2)*e^(i*(pi/3+2kpi)),k in ZZ$
Se $theta=-pi/3->cos(-2/3*pi)=-1/2,cos(-pi/3)=1/2$ per cui l'equazione diventa $-2rho^2+1=0$ che ha come soluzione reale positiva $rho=1/(sqrt2)$ per cui una soluzione è $1/(sqrt2)*e^(i*(-pi/3+2kpi)),k in ZZ$

Quindi in conclusione le soluzioni sono $z=1/(sqrt2)*e^(i*(+-pi/3+2kpi)),k in ZZ$