Numeri complessi
Come si scrive in forma trigonometrica il numero complesso $1-isqrt3$?
E il numero $-1+isqrt3$?
E il numero $-1+isqrt3$?
Risposte
Basta che trovi modulo e anomalia.
Per il primo caso hai:
$rho=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(1+3)=2$
$theta=arctg(b/a)=arctg(-sqrt3)=5/3pi$
Per il primo caso hai:
$rho=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(1+3)=2$
$theta=arctg(b/a)=arctg(-sqrt3)=5/3pi$
A proposito di numeri complessi...
Come si può utilizzare la formula di De Moivre per provare che:
$cos(pi/11)+cos(3pi/11)+cos(5pi/11)+cos(7pi/11)+cos(9pi/11)=1/2$ ?
Come si può utilizzare la formula di De Moivre per provare che:
$cos(pi/11)+cos(3pi/11)+cos(5pi/11)+cos(7pi/11)+cos(9pi/11)=1/2$ ?
come pensavo...
é un esercizio svolto del libro che però lo svolge uin maniera diversa....
$cosTheta=1/2$ $senTheta=-sqrt3/2$ dato che il coseno èpositivo e il senio negativo,a meno di multipli di $2pi$ è $Theta=2pi-pi/3=5pi/3$
Perchè fa tutto sto giro? e se era il coseno negativo e il seno positivo?
E pensare che li avevo fatti in quarta i complessi....ora che mi servono li ho scordati!
é un esercizio svolto del libro che però lo svolge uin maniera diversa....
$cosTheta=1/2$ $senTheta=-sqrt3/2$ dato che il coseno èpositivo e il senio negativo,a meno di multipli di $2pi$ è $Theta=2pi-pi/3=5pi/3$
Perchè fa tutto sto giro? e se era il coseno negativo e il seno positivo?
E pensare che li avevo fatti in quarta i complessi....ora che mi servono li ho scordati!
E' la stessa cosa, nel nostro caso ho osservato che $1-isqrt(3)$ giace sul quarto quadrante e concluso che l'anomalia è $5/3pi$.
"ENEA84":
Come si scrive in forma trigonometrica il numero complesso $1-isqrt3$?
E il numero $-1+isqrt3$?
Per il secondo
$z=-1+isqrt(3)=|z|(costheta+isentheta)$
$|z|=sqrt(1+3)=2$ mentre $theta=pi-arctg(sqrt(3))=pi-pi/3=(2pi)/3$ da cui
$z=2(cos((2pi)/3)+isen((2pi)/3))$
"nicasamarciano":
[quote="ENEA84"]Come si scrive in forma trigonometrica il numero complesso $1-isqrt3$?
E il numero $-1+isqrt3$?
Per il secondo
$z=-1+isqrt(3)=|z|(costheta+isentheta)$
$|z|=sqrt(1+3)=2$ mentre $theta=pi-arctg(sqrt(3))=pi-pi/3=(2pi)/3$ da cui
$z=2(cos((2pi)/3)+isen((2pi)/3))$[/quote]
Perchè $pi-arctg$$?
"ENEA84":
[quote="nicasamarciano"][quote="ENEA84"]Come si scrive in forma trigonometrica il numero complesso $1-isqrt3$?
E il numero $-1+isqrt3$?
Per il secondo
$z=-1+isqrt(3)=|z|(costheta+isentheta)$
$|z|=sqrt(1+3)=2$ mentre $theta=pi-arctg(sqrt(3))=pi-pi/3=(2pi)/3$ da cui
$z=2(cos((2pi)/3)+isen((2pi)/3))$[/quote]
Perchè $pi-arctg$=$?[/quote]
Perchè l'anomalia si trova nel secondo quadrante, per cui l'angolo $theta$ è il supplementare dell'angolo che si formerebbe nel promo quadrante nel caso in cui avremmo $z=1+isqrt(3)$. Infatti in tal caso avremmo che l'anomalia sarebbe $arctg(sqrt(3))=pi/3$, per cui
$theta=pi-pi/3=(2pi)/3$
ho capito.....
Impegniamoci per fireball.....il suo quesito di sopra mi sembra "attraente".
Grazie nisa...sei preparato su ttutto...da informatica a fisica a matematica!complimenti.
Impegniamoci per fireball.....il suo quesito di sopra mi sembra "attraente".
Grazie nisa...sei preparato su ttutto...da informatica a fisica a matematica!complimenti.
"fireball":
A proposito di numeri complessi...
Come si può utilizzare la formula di De Moivre per provare che:
$cos(pi/11)+cos(3pi/11)+cos(5pi/11)+cos(7pi/11)+cos(9pi/11)=1/2$ ?
Allora sia $alpha=pi/11$
$a=cos(alpha)+cos(3alpha)+cos(5alpha)+cos(7alpha)+cos(9alpha)=Re{e^(ialpha)}+Re{e^(3alpha)}+Re{e^(5alpha)}+Re{e^(7ialpha)}+Re{e^(9ialpha)}$=
$Re{e^(ialpha)+e^(i3alpha)+e^(i5alpha)+e^(i7alpha)+e^(i9alpha)}$= (la somma delle parti reali è la parte reale della somma)
$Re{sum_{k=1}^{5}e^(i(2k-1)alpha)}=Re{sum_{k=0}^{5}e^(i(2k-1)alpha)}-Re{e^(-ialpha)}$= (parto da $k=0$ e sottraggo il termine corrispondente a $k=0$)
$Re{sum_{k=0}^{5}e^(i(2alpha)^k)*e^(-ialpha)}-cos(alpha)$=
$Re{e^(-ialpha)*sum_{k=0}^{5}e^(i(2alpha)^k)}-cos(alpha)$=
$Re{e^(-ialpha)*(1-e^(i12alpha))/(1-e^(i2alpha))}-cos(alpha)=Re{e^(-ialpha)*e^(+6ialpha)/e^(+ialpha)*(e^(i6alpha)-e^(-i6alpha))/(e^(ialpha)-e^(-ialpha))}-cos(alpha)=Re{e^(-ialpha)*e^(+6ialpha)/e^(+ialpha)*((e^(i6alpha)-e^(-i6alpha))/(2i))/((e^(ialpha)-e^(-ialpha))/(2i))}-cos(alpha)$=
$Re{e^(-ialpha)*e^(+6ialpha)/e^(+ialpha)*(sen(6alpha))/(sen(alpha))}-cos(alpha)$=
$(sen(6alpha))/(sen(alpha))*Re{e^(i4alpha)}-cos(alpha)=(sen(6alpha)*cos(4alpha))/(sen(alpha))-cos(alpha)$=
$1/2*[sen(10alpha)+sen(2alpha)]/(sen(alpha))-cos(alpha)=1/2*(sen(10alpha)+sen(2alpha)-sen(2alpha))/(sen(alpha))=1/2(sen(10alpha))/(sen(alpha))=1/2*(sen(10*pi/11))/(sen(pi/11))=1/2$ poichè
$(sen(10*pi/11))/(sen(pi/11))=(sen(pi-pi/11))/(sen(pi/11))=1$ ed avendo sfruttato le formule di werner per cui
$sinalphacosbeta=1/2*[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)]$
Grande nicasamarciano!
Una soluzione alternativa (elementare e senza l'uso di de Moivre) puo'
essere questa.
Partiamo da :
$sin[(2k+1)a]-sin[(2k-3)a]=2sin2acos[(2k-1)a] $
Ponendo in questa formula k=1,2,3,4,5 si ha:
$sin3a+sina=2sin2acosa$
$sin5a-sina=2sin2acos3a$
$sin7a-sin3a=2sin2acos5a$
$sin9a-sin5a=2sin2acos7a$
$sin11a-sin7a=2sin2acos9a$
Sommando:
$sin9a+sin11a=2sin2a(cosa+cos3a+cos5a+cos7a+cos9a)$
da cui:
$cosa+cos3a+cos5a+cos7a+cos9a=(sin9a+sin11a)/(2sin2a)$
Ponendo in questa formula $a=(pi)/11$ e tenuto conto che in tal caso
$sin11a=sinpi=0,sin((9pi)/(11))=sin((2pi)/(11))$ si ha appunto:
$cos ((pi)/(11))+cos((3pi)/(11)) +cos((5pi)/(11)) +cos((7pi)/(11)) +cos((9pi)/(11)) =1/2$
karl
essere questa.
Partiamo da :
$sin[(2k+1)a]-sin[(2k-3)a]=2sin2acos[(2k-1)a] $
Ponendo in questa formula k=1,2,3,4,5 si ha:
$sin3a+sina=2sin2acosa$
$sin5a-sina=2sin2acos3a$
$sin7a-sin3a=2sin2acos5a$
$sin9a-sin5a=2sin2acos7a$
$sin11a-sin7a=2sin2acos9a$
Sommando:
$sin9a+sin11a=2sin2a(cosa+cos3a+cos5a+cos7a+cos9a)$
da cui:
$cosa+cos3a+cos5a+cos7a+cos9a=(sin9a+sin11a)/(2sin2a)$
Ponendo in questa formula $a=(pi)/11$ e tenuto conto che in tal caso
$sin11a=sinpi=0,sin((9pi)/(11))=sin((2pi)/(11))$ si ha appunto:
$cos ((pi)/(11))+cos((3pi)/(11)) +cos((5pi)/(11)) +cos((7pi)/(11)) +cos((9pi)/(11)) =1/2$
karl
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