Numeri complessi
Il modulo del numero complesso w=-3+4i è 5 giusto?
Come determino l'ARG (argomento principale) di w?L'argomento principale sarebbe la fase?
Inoltre mi chiede di determinare le soluzioni dell'equazione z^3=W. Come faccio?
Grazie, Buon 25 aprile a tutti!
Come determino l'ARG (argomento principale) di w?L'argomento principale sarebbe la fase?
Inoltre mi chiede di determinare le soluzioni dell'equazione z^3=W. Come faccio?
Grazie, Buon 25 aprile a tutti!
Risposte
"davidcape":
Il modulo del numero complesso w=-3+4i è 5 giusto?
Giusto, sì.
"davidcape":
Come determino l'ARG (argomento principale) di w? L'argomento principale sarebbe la fase?
Dipende da come definisci la fase e l'argomento principale. Personalmente, per argomento principale intendo il valore del parametro angolare $\theta$, ridotto all'intervallo [-pi, pi], che interviene nella rappresentazione polare di ogni numero complesso $z \ne 0$ secondo la forma $z = \rho e^{i\theta}$.
"davidcape":
Inoltre mi chiede di determinare le soluzioni dell'equazione z^3=W. Come faccio?
Usi il teorema della radice.
EDIT: boh, il mathml fa le bizze!
grazie mille, scusate se vi faccio queste domande banali ma sono molto indietro.
Ciao,
provo a risponderti per quanto mi ricordo:
(1) E' giusto perche' $sqrt(3^2+4^2) = 5$
(2) Per determinare l'argomento devi portare il numero complesso dalla forma algebrica in forma trigonometrica. L'angolo del seno e del coseno rappresenta l'argomento e quindi la fase.
(3) Non ricordo come svolgerlo, pero' posso suggerirti di provare a considerare z = W^(1/3) e ti calcoli le 3 radici cubiche di W.
EugenioA
provo a risponderti per quanto mi ricordo:
(1) E' giusto perche' $sqrt(3^2+4^2) = 5$
(2) Per determinare l'argomento devi portare il numero complesso dalla forma algebrica in forma trigonometrica. L'angolo del seno e del coseno rappresenta l'argomento e quindi la fase.
(3) Non ricordo come svolgerlo, pero' posso suggerirti di provare a considerare z = W^(1/3) e ti calcoli le 3 radici cubiche di W.
EugenioA
DavidHilbert, questa mattina siamo quasi in sincronia. Io con un leggero ritardo hehehe...
Eugenio
Eugenio
grazie anche a te Eugenio.
Ma se io sò che la tangente dell'angolo è x/y e quindi in questo caso -3/4 , sò anche che l'arcotangente dell'angolo è -4/3 perchè l'arcotangente è la tangente alla -1 (funzione inversa). Quindi in pratica devo trovare l'angolo la cui arcotangente è -4/3?
Ho capito bene?Come si fà?
io sò che w=rcos(fi)+i r sin(fi)
cioè che così esprimo in maniera polare il numero complesso w.
Potreste farmi vedere come si fà con un esempio anche diverso dal mio? Scusate ragazzi ma in queste dispense non c'è scritto un tubo e io i libri delle superiori ho dovuto venderli purtroppo!
Scusate ancora ma non ci metto veramente le mani, capisco siano cose banali.
Cioè il mio è proprio un problema dovuto al fatto che ho delle lacune pietose in trigonometria. In pratica se io sò quanto è il seno oppure il coseno o anche la tangente di un angolo e ho i lati del triangolo come faccio a trovare il valore dell'angolo?
Ma se io sò che la tangente dell'angolo è x/y e quindi in questo caso -3/4 , sò anche che l'arcotangente dell'angolo è -4/3 perchè l'arcotangente è la tangente alla -1 (funzione inversa). Quindi in pratica devo trovare l'angolo la cui arcotangente è -4/3?
Ho capito bene?Come si fà?
io sò che w=rcos(fi)+i r sin(fi)
cioè che così esprimo in maniera polare il numero complesso w.
Potreste farmi vedere come si fà con un esempio anche diverso dal mio? Scusate ragazzi ma in queste dispense non c'è scritto un tubo e io i libri delle superiori ho dovuto venderli purtroppo!
Scusate ancora ma non ci metto veramente le mani, capisco siano cose banali.
Cioè il mio è proprio un problema dovuto al fatto che ho delle lacune pietose in trigonometria. In pratica se io sò quanto è il seno oppure il coseno o anche la tangente di un angolo e ho i lati del triangolo come faccio a trovare il valore dell'angolo?
No, così non va. Quando calcoli l'argomento di un numero complesso del tipo $z = a + ib$, con $a, b \in \mathbb{R}$ e $a^2 + b^2 \ne 0$, essenzialmente ti basta considerare che, relativamente all'intervallo [pi/2, 3pi/2[: i) $Arg(z) = arctg(b/a)$, se $a > 0$; ii) $Arg(z) = sgn(b) \cdot \pi/2$, se $a = 0$; iii) $Arg(z) = \pi - arctg(\frac{b}{|a|})$, se $a < 0$. Quindi procedi a ridurre $Arg(z)$ all'intervallo di valori che più di interessa, sia questo $[-\pi,\pi[$ piuttosto che $[0, 2\pi[$.
Non $x/y$ ma $y/x$ perche' $tan(alpha) = sin(alpha) / cos(alpha)$
La forma algebrica e' $z = x + iy$
La forma trigonometrica e' $z = r * cos(theta) + i * r * sin(theta)$
Quindi se io divido $y/x = (r * sin(theta)) / (r * cos(theta)) = tan(theta)$
Quindi, per trovare l'argomento devo fare $theta = arctan(y/x)$, cioe' devo trovare l'angolo per cui la tangente e' uguale a $y/x$
Concordi ?
EugenioA
La forma algebrica e' $z = x + iy$
La forma trigonometrica e' $z = r * cos(theta) + i * r * sin(theta)$
Quindi se io divido $y/x = (r * sin(theta)) / (r * cos(theta)) = tan(theta)$
Quindi, per trovare l'argomento devo fare $theta = arctan(y/x)$, cioe' devo trovare l'angolo per cui la tangente e' uguale a $y/x$
Concordi ?
EugenioA
ho capito ragazzi, vi ringrazio, comunque farò un bel ripasso di trigonometria, qualcosa su internet trovo di certo.
Grazie ancora , avete davvero tanta pazienza.
Grazie ancora , avete davvero tanta pazienza.
x DavidHilbert
Mi dispiace. E' la terza volta.
Come evitare questo ?
x davidcape:
DavidHilbert ti ha mostrato tutte le casistiche e la riduzione all'intervallo di riferimento.
EugenioA
Mi dispiace. E' la terza volta.
Come evitare questo ?
x davidcape:
DavidHilbert ti ha mostrato tutte le casistiche e la riduzione all'intervallo di riferimento.
EugenioA
"eugenio.amitrano":
x DavidHilbert
Mi dispiace. E' la terza volta.
Non credo vi sia un motivo veramente valido per cui tu debba spiacerti, su...
allora, ho capito le varie casistiche, e come ridurre gli intervalli.
Adesso ho l'ultimo problema. In pratica come lo calcolo l'arcotangente di (-4/3)? Devo disegnare il cerchio trigonometrico?
Se nel compito alla domanda calcolare l'argomento lascio scritto ad esempio fi=atan(x/y) va bene uguale?
Adesso ho l'ultimo problema. In pratica come lo calcolo l'arcotangente di (-4/3)? Devo disegnare il cerchio trigonometrico?
Se nel compito alla domanda calcolare l'argomento lascio scritto ad esempio fi=atan(x/y) va bene uguale?
sicuramente nel compito ti capiterà un angolo notevole.. altrimenti lasci scritto atan(x/y) non credo che ci siano problemi
Ragazzi, da solo proprio non ci riesco c'è qualcuno che può spiegarmi come si trovano le soluzioni di z^3=w
con w=-3+4i ad esempio?
Proprio non riesco ad applicare la teoria.
Nel libro ad esempio spiega come trovare le radici quarte di -4 e quello l'ho capito, ma le radici di un numero complesso come si fa a trovarle?Abbiate pazienza è da stamani che ci provo.
con w=-3+4i ad esempio?
Proprio non riesco ad applicare la teoria.
Nel libro ad esempio spiega come trovare le radici quarte di -4 e quello l'ho capito, ma le radici di un numero complesso come si fa a trovarle?Abbiate pazienza è da stamani che ci provo.
Devi portarlo in coordinate polari ($\rho$,$\theta$), poi fare la radice cubica positiva del modulo $\rho$ (nel tuo caso radice cubica di 5) e avrai i tre numeri
$\rho^{1/3}(cos(\theta/3)+isen(\theta/3))$, $\rho^{1/3}(cos(\(theta+2\pi)/3)+isen(\(theta+2\pi)/3))$, $\rho^{1/3}(cos(\(theta+4\pi)/3)+isen(\(theta+4\pi)/3))$
(in generale per le radici N-sime di $w=\rho(cos\theta+isen\theta)$ devi fare $\rho^{1/N}(cos((\theta+2k\pi)/N)+isen((\theta+2k\pi)/N))$, $k=0,...,N-1$).
$\rho^{1/3}(cos(\theta/3)+isen(\theta/3))$, $\rho^{1/3}(cos(\(theta+2\pi)/3)+isen(\(theta+2\pi)/3))$, $\rho^{1/3}(cos(\(theta+4\pi)/3)+isen(\(theta+4\pi)/3))$
(in generale per le radici N-sime di $w=\rho(cos\theta+isen\theta)$ devi fare $\rho^{1/N}(cos((\theta+2k\pi)/N)+isen((\theta+2k\pi)/N))$, $k=0,...,N-1$).
ok, ci provo, GRAZIE
si ma io l'angolo fi non lo riesco a trovare perchè è uguale all'arcotangente di (-4/3) e non sò quale è l'angolo che ha come arcotangente -4/3.
al massimo avendo il modulo posso scrivere che w=5cos(fi)+i 5 sin (fi);
ma cos' come posso ottenere qualcosa? come si trova l'angolo che ha come arcotangente -4/3?
praticamente se non risolvo il problema di prima non posso risolvere neanche quest'altro, quindi non posso lasciare scritto che fi=arctan (-4/3) come mi ha suggerito qualcuno prima e come pensavo anche io fosse giusto ma devo trovare il valore di fi.
E io non sò farlo è questo il mio problema forse mi sono espresso male prima. Scusate ancora, grazie per l'immediatezza delle risposte.
ps.cmq la radice cubica di 5 è 1,7 quando poi ho trovato questo valore come lo adopero?
si ma io l'angolo fi non lo riesco a trovare perchè è uguale all'arcotangente di (-4/3) e non sò quale è l'angolo che ha come arcotangente -4/3.
al massimo avendo il modulo posso scrivere che w=5cos(fi)+i 5 sin (fi);
ma cos' come posso ottenere qualcosa? come si trova l'angolo che ha come arcotangente -4/3?
praticamente se non risolvo il problema di prima non posso risolvere neanche quest'altro, quindi non posso lasciare scritto che fi=arctan (-4/3) come mi ha suggerito qualcuno prima e come pensavo anche io fosse giusto ma devo trovare il valore di fi.
E io non sò farlo è questo il mio problema forse mi sono espresso male prima. Scusate ancora, grazie per l'immediatezza delle risposte.
ps.cmq la radice cubica di 5 è 1,7 quando poi ho trovato questo valore come lo adopero?
Purtroppo non e' un angolo notevole e' circa -51°20', io lascerei atan(-4/3).
Per il secondo punto basta sostituire i tuoi valori alle radici calcolate da irenze, ed io comunque lascerei $5^(1/3)$
Qual'e' la tua difficolta' ?
EugenioA
Per il secondo punto basta sostituire i tuoi valori alle radici calcolate da irenze, ed io comunque lascerei $5^(1/3)$
Qual'e' la tua difficolta' ?
EugenioA
caro eugenio ti ringrazio per la risposta. la mia difficoltà è che se qualcuno non mi fa vedere tutti i passaggi dalla a alla zeta in linea generale (non mi importa di questo caso in se) non sono capace a farlo.
in forma polare lo devo scrivere come
w=5 cos (fi) + i 5 sin (fi).
ma non conoscendo il valore di fi non posso neanche conoscee i valori del seno e del coseno e quindi che faccio?Questo non riesco a capire.
in forma polare lo devo scrivere come
w=5 cos (fi) + i 5 sin (fi).
ma non conoscendo il valore di fi non posso neanche conoscee i valori del seno e del coseno e quindi che faccio?Questo non riesco a capire.
Non posso assicurarti cio' che ti scrivero', qualcuno puo' confermarlo oppure negarlo.
Non occorronno altri passaggi e non occorre calcolare il valore di $theta$ in radianti.
Ecco come svolgerei l'esercizio:
Prima parte: (Calcolare $theta$)
$w = -3 + 4i$
forma trigonometrica
$w = rho * (cos(theta) + i * sin(theta)$
$rho = sqrt(9 + 16) = 5$
$theta = atan(-4/3)$
Seconda parte: (Calcolare z)
$z^3 = w$
Le soluzioni sono tre:
$z = w^(1/3)$
per la Formula delle radici: (copio da irenze)
le radici n-sime di
$w = rho * (cos(theta) + i * sin(theta))$
sono
$rho^(1/n) * (cos((theta + 2k * pi) / n)+i sin((theta + 2k * pi) / n)$ per $k = 0, ..., n-1$)
quindi
$w = 5 * (cos(atan(-4/3)) + i * sin(atan(-4/3)))$
$z1 = 5^(1/3) * (cos(atan(-4/3) / 3) + i * sin(cos(atan(-4/3) / 3))$
$z2 = 5^(1/3) * (cos((atan(-4/3) + 2 * pi) / 3) + i * sin((atan(-4/3) + 2 * pi) / 3)$
$z3 = 5^(1/3) * (cos((atan(-4/3) + 4 * pi) / 3) + i * sin((atan(-4/3) + 4 * pi) / 3)$
Sei daccordo ?
EugenioA
P.S. Perche' ti preme cosi' tanto calcolare il valore preciso dell'angolo ?
Non credo che un prof. ti spinga a calcolarlo se non e' un angolo notevole.
P.P.S.
x Gli esperti della sintassi del forum
Perche' non viene visualizzato correttamente il risultato z1 ?
Non occorronno altri passaggi e non occorre calcolare il valore di $theta$ in radianti.
Ecco come svolgerei l'esercizio:
Prima parte: (Calcolare $theta$)
$w = -3 + 4i$
forma trigonometrica
$w = rho * (cos(theta) + i * sin(theta)$
$rho = sqrt(9 + 16) = 5$
$theta = atan(-4/3)$
Seconda parte: (Calcolare z)
$z^3 = w$
Le soluzioni sono tre:
$z = w^(1/3)$
per la Formula delle radici: (copio da irenze)
le radici n-sime di
$w = rho * (cos(theta) + i * sin(theta))$
sono
$rho^(1/n) * (cos((theta + 2k * pi) / n)+i sin((theta + 2k * pi) / n)$ per $k = 0, ..., n-1$)
quindi
$w = 5 * (cos(atan(-4/3)) + i * sin(atan(-4/3)))$
$z1 = 5^(1/3) * (cos(atan(-4/3) / 3) + i * sin(cos(atan(-4/3) / 3))$
$z2 = 5^(1/3) * (cos((atan(-4/3) + 2 * pi) / 3) + i * sin((atan(-4/3) + 2 * pi) / 3)$
$z3 = 5^(1/3) * (cos((atan(-4/3) + 4 * pi) / 3) + i * sin((atan(-4/3) + 4 * pi) / 3)$
Sei daccordo ?
EugenioA
P.S. Perche' ti preme cosi' tanto calcolare il valore preciso dell'angolo ?
Non credo che un prof. ti spinga a calcolarlo se non e' un angolo notevole.
P.P.S.
x Gli esperti della sintassi del forum
Perche' non viene visualizzato correttamente il risultato z1 ?
si eugenio, adesso mi è tutto chiaro, non ho risposto fino ad adesso perchè volevo capire bene.
Mi preme così tanto il valore preciso dell'angolo perchè l'appello scorso non sono arrivato al 18 (lo sò non è un votone ma io miro a fare esami non mi importa quanto prendo, sono rimasto indietro per cause personali e quindi devo accontentarmi) perchè avevo solo impostato la risoluzione di un esercizio di questo tipo. La prof. non mi ha dato altra motivazione e siccome mi ha detto che avrei trovato il modo di calcolare tutto nelle sue dispense (cosa non vera perchè se non era per voi, non ce l'avrei mai fatta a capire). Inoltre volevo sapere il valore preciso perchè se per caso mi chiedesse di disegnarle le soluzioni sono fregato. Grazie mille della pazienza, grazie di cuore a tutti.
Mi preme così tanto il valore preciso dell'angolo perchè l'appello scorso non sono arrivato al 18 (lo sò non è un votone ma io miro a fare esami non mi importa quanto prendo, sono rimasto indietro per cause personali e quindi devo accontentarmi) perchè avevo solo impostato la risoluzione di un esercizio di questo tipo. La prof. non mi ha dato altra motivazione e siccome mi ha detto che avrei trovato il modo di calcolare tutto nelle sue dispense (cosa non vera perchè se non era per voi, non ce l'avrei mai fatta a capire). Inoltre volevo sapere il valore preciso perchè se per caso mi chiedesse di disegnarle le soluzioni sono fregato. Grazie mille della pazienza, grazie di cuore a tutti.
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