Numeri complessi
Ciao a tutti sono bloccato su questo esercizio sui numeri complessi.
Det λ appartenente all'insieme dei complessi t.c. $Zo = 3i$ sia radice (zero) del polinomio complesso
$P(z) = z^7 - 3iz^6 + λz^3 - 48iz^2$
Per taleλ trovare tutte le radici di P(z) in forma algebrica.
Allora io ho raccolto $z^2$ per buttare via un po' di roba.
$z^2(z^5-3iz^4+λz-48i)$
Perchè Zo = 3i sia zero del polinomio allora P(3i) = 0.
Quindi sostituendo 3i al posto di z abbiamo $(3i)^5-3i(3i)^4+λ(3i)-48i=0$ dividendo ogni termine per 3i abbiamo che λ = 16 ma λ deve appartenere ai complessi...quindi ho sbagliato qualcosa
In ogni caso trovato il λ esatto bisogna sostituirlo all'eq di partenza e fare $(Z-Zo)*q(z)$ dove q(z) è il risultato della divisione di P per (Z-Zo). Questa divisione si fa utilizzando la regola di Ruffini.
Vedete so come si fa ma non riesco a farlo!
Praticamente è già fatto...basta che qualcuno corregga le mie sviste 
Grazie!
Det λ appartenente all'insieme dei complessi t.c. $Zo = 3i$ sia radice (zero) del polinomio complesso
$P(z) = z^7 - 3iz^6 + λz^3 - 48iz^2$
Per taleλ trovare tutte le radici di P(z) in forma algebrica.
Allora io ho raccolto $z^2$ per buttare via un po' di roba.
$z^2(z^5-3iz^4+λz-48i)$
Perchè Zo = 3i sia zero del polinomio allora P(3i) = 0.
Quindi sostituendo 3i al posto di z abbiamo $(3i)^5-3i(3i)^4+λ(3i)-48i=0$ dividendo ogni termine per 3i abbiamo che λ = 16 ma λ deve appartenere ai complessi...quindi ho sbagliato qualcosa
In ogni caso trovato il λ esatto bisogna sostituirlo all'eq di partenza e fare $(Z-Zo)*q(z)$ dove q(z) è il risultato della divisione di P per (Z-Zo). Questa divisione si fa utilizzando la regola di Ruffini.
Vedete so come si fa ma non riesco a farlo!
Praticamente è già fatto...basta che qualcuno corregga le mie sviste Grazie!
Risposte
L'equazione da risolvere è quindi :
$z^2(z^5-3iz^4+16z-48i) = z^2[z^4(z-3i)+16(z-3i)] = z^2(z-3i)(z^4+16) = 0 $
e quindi :
$z_1 =0,z_2=0, z_3 = 3i $.
Le altre quattro radici si ottengono risolvendo l'equazione :
$z^4+16 = 0 $ , che non dovrebbe essere difficile e che ti lascio da fare.
Camillo
$z^2(z^5-3iz^4+16z-48i) = z^2[z^4(z-3i)+16(z-3i)] = z^2(z-3i)(z^4+16) = 0 $
e quindi :
$z_1 =0,z_2=0, z_3 = 3i $.
Le altre quattro radici si ottengono risolvendo l'equazione :
$z^4+16 = 0 $ , che non dovrebbe essere difficile e che ti lascio da fare.
Camillo
comunque 16 è un numero complesso, perchè non dovrebbe?
infatti i numeri naturali sono un sottoinsieme dei complessi.
infatti i numeri naturali sono un sottoinsieme dei complessi.
Ciao, intanto grazie.
Non è che puoi spiegarmi per benino la divisione? Perchè non riesco a capirla.
Grazie
Non è che puoi spiegarmi per benino la divisione? Perchè non riesco a capirla.
Grazie
"cavallipurosangue":
comunque 16 è un numero complesso, perchè non dovrebbe?
infatti i numeri naturali sono un sottoinsieme dei complessi.
Ho scritto una menata dai
Partendo da quello che hai scritto tu $z^5 -3iz^4+16z-48i $ non ho fatto altro che un doppio raccoglimento a fattor comune tra il primo e secondo addendo e tra il terzo e il quarto e approfittando del fatto che ottengo sempre $z-3i $ in entrambi i casi , lo posso quindi raccogliere ancora , riuscendo così a fattorizzare l'espressione in : $(z-3i)(z^4+16) $.
Camillo
Camillo
"camillo":
Partendo da quello che hai scritto tu $z^5 -3iz^4+16z-48i $ non ho fatto altro che un doppio raccoglimento a fattor comune tra il primo e secondo addendo e tra il terzo e il quarto e approfittando del fatto che ottengo sempre $z-3i $ in entrambi i casi , lo posso quindi raccogliere ancora , riuscendo così a fattorizzare l'espressione in : $(z-3i)(z^4+16) $.
Camillo
Giusto! Che occhio!
Le trovo con De Moivre le 4 radici?
Grazie
Hai da risolvere : $ z^4 = -16 $ e qui è facile ottenere i 2 valori di z^2 che sono :$ 4i, -4i $.
Poi procedi pure con De Moivre , oppure subito con De Moivre .
Camillo
Poi procedi pure con De Moivre , oppure subito con De Moivre .
Camillo
Allora io facendo subito con De Moivre ho trovato $sqrt(1+(sqrt2)/2) + isqrt((1-sqrt2/2)/2)$
poi $sqrt(1+(sqrt2)/2) + i$ poi $sqrt(1+(sqrt2)/2)$ ed infine $sqrt(1+(sqrt2)/2) - i$.
Giusto
poi $sqrt(1+(sqrt2)/2) + i$ poi $sqrt(1+(sqrt2)/2)$ ed infine $sqrt(1+(sqrt2)/2) - i$.
Giusto
Come hai ricavato quelle soluzioni ?
I valori corretti sono : $ sqrt(2)(1+i); sqrt(2)(-1+i) ; sqrt(2)(-1-i) ; sqrt(2)(1-i) $ .
Camillo
I valori corretti sono : $ sqrt(2)(1+i); sqrt(2)(-1+i) ; sqrt(2)(-1-i) ; sqrt(2)(1-i) $ .
Camillo
Ho sbagliato tutto...tu come hai fatto?
Sarebbe $Z_k = sqrt(-4)u(3/2π + Kπ) con K=0,1$ e $ Z_k = sqrt(4)u(π/2+Kπ) con K = 2,3$ ?? Impossibile...
Sarebbe $Z_k = sqrt(-4)u(3/2π + Kπ) con K=0,1$ e $ Z_k = sqrt(4)u(π/2+Kπ) con K = 2,3$ ?? Impossibile...
$z^4 =-16 =(2^4)(cos pi+isinpi) $.
Adesso applichi la formula di De Moivre :
$ z = 2[cos((pi+2kpi)/4) + i sin ((pi+2kpi)/4)] $ con $ k= 0,1,2,3 $.
Camillo
Adesso applichi la formula di De Moivre :
$ z = 2[cos((pi+2kpi)/4) + i sin ((pi+2kpi)/4)] $ con $ k= 0,1,2,3 $.
Camillo
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