Numeri complessi

[nemoprincess]

Devo determinare l'insieme dei numeri complessi tali che:

e^|z+z$|>=1/|e^z-z$|

dove z$ sta per z coniugato

[goblyn]

e^|z+z$|>=1/|e^(z-z$)|

Ho aggiunto le parentesi tonde, ho fatto bene?

Se è così:

z=a+ib
z$=a-ib

z+z$=2a
z-z$=i2b

L'equazione diventa:

e^|2a| = 1/|e^(i2b)|

e^|2a|=1

Prendiamo il logaritmo (complesso, cioè periodico di periodo i*2n*pi):

|2a|=i*2*n*pi con n naturale

a = i*n*pi con n intero (anche relativo)

ma a dev'essere reale quindi n dev'essere 0 ==> a=0.

b qualsiasi.

Soluzione: z=ib con b numero reale

[nemoprincess]

Il mio prof mi dà come soluzione a > 0

[goblyn]

Eppure... fai la verifica...:

z=ib

z$=-ib

z+z$=0

z-z$=i2b

e^|z+z$|=e^0=1
|e^(z-z$)|=|e^(i2b)|=1

che verifica l'uguaglianza.

Se fosse

z=a+ib

z$=a-ib

z+z$=2a

z-z$=i2b


e^|2a|=e^(2|a|)
|e^(z-z$)|=|e^(i2b)|=1

Per verificare l'uguaglianza dev'essere:

e^(2|a|) = 1

cioè |a|=0 cioè z=ib.......

Sempreché il testo sia giusto... (le parentesi che ho messo io vanno bene?)


Modificato da - goblyn il 04/09/2003 17:24:49

[Camillo]

Ciao,
ho un commento da fare:
in realtà il problema posto non era una equazione, ma una disequazione.
Sfruttando i calcoli di goblyn, si arriva a .
e^|2a| >= 1/|e^(i2b)| da cui :

e^ |2a| >= 1 che è verificata da qualunque valore reale di a , oltre che di b .

Tutti d'accordo ?
ciao
Camillo

[goblyn]

ah già... era una disequazione...

Io sono d'accordo!!!

[nemoprincess]

Come avete fatto ad eliminare il denominatore al secondo membro?

[goblyn]

|e^(i2b)| è il modulo di un numero complesso ( e^(i2b) ) il cui modulo è 1 !!!

e^(i2b) = cos(2b) + i sin(2b)

|e^(i2b)| = sqrt( cos(2b)^2 + sin(2b)^2 ) = sqrt(1) = 1

[nemoprincess]

E come mai questo passaggio:

e^(i2b) = cos(2b) + i sin(2b)

[goblyn]

Scrivi la serie di McLaurin di cos(2b) e quella di sin(2b)... poi sommale (quella di sin(2b) moltiplicala per i naturalmente) e vedrai che il risultato è la serie di McLaurin di e^(i2b)!!!

[nemoprincess]

Ok grazie mille a tutti.