Numeri complessi

[jarrod]

CIao, stavo riguardando un esercizio che avevo svolto tantissimo tempo fa, ma non capisco un piccolo passaggio.
ho la seguente equazione:
$z|z| = 2\bar z$

sapendo che $z = p (cos (\theta) + i sin(\theta))$
e che $2\bar z = 2p (cos (-\theta) + i sin(-\theta))$

sapendo che $|z| = root(2) (x^2 + y^ 2)$

come mai il prodotto $z|z|$ diventa $p^2 (cos (\theta) + i sin(\theta))$?
Non capisco quali siano i passaggi intermedi che portano a quella deduzione.. qualcuno lo sa?

[pilloeffe]

Ciao jarrod,

"jarrod":qualcuno lo sa?

Penso che lo sappiano in parecchi...
Beh, usando le tue notazioni, si ha:

$|z| = sqrt{x^2 + y^2} = p $

[jarrod]

ah okay grazie.
Ho appena finito di risolvere questo esercizio, ho solamente un altro piccolo dubbio.

Io in seguito ho fatto questa uguaglianza $p^2 (cos (\theta) + i sin(\theta)) = 2p (cos (-\theta) + i sin(-\theta))$
Quindi poi ho fatto un sistema in cui ho ricavato sia $p$ e sia $\theta$.

$\{(p^2 = 2p),(\theta = -\theta + 2k\pi):}$

quindi $p = 0$ $p = 2$ e $\theta =k\pi$

quindi ho in teoria 2 soluzioni, z = 0, e z = 2.

nelle soluzioni compare una terza soluzione $z = -2$. Io ho fatto solo per $k = 0$. è sbagliato?

[gugo82]

"jarrod":CIao, stavo riguardando un esercizio che avevo svolto tantissimo tempo fa, ma non capisco un piccolo passaggio.
ho la seguente equazione:
$z|z| = 2\bar z$

La risolvo ragionando, senza pretesa di usare tecniche standard.

Affinché i due numeri $z|z|$ e $2bar(z)$ siano uguali c’è bisogno che abbiano anzitutto lo stesso modulo; dato che:
\[
\begin{split}
\Big| z |z| \Big| &= |z|^2\\
\Big| 2 \bar{z}\Big| &= 2 |z|
\end{split}
\]
l’uguaglianza tra moduli è soddisfatta solo se:
\[
|z|\ (|z| - 2) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |z| = 0 \text{ oppure } |z| = 2\;.
\]
Quindi una soluzione dell’equazione è certamente $z=0$ e possiamo limitarci a cercare le altre, ossia quelle con modulo uguale a $2$.
Supponendo $z!=0$, possiamo moltiplicare per $z$ ambo i membri dell’equazione ed ottenere:
\[
z^2 |z| = 2 |z|^2
\]
in cui abbiamo tenuto presente che $|z|^2 = z*bar(z)$; dunque, semplificando per $|z|$ e ricordando che $|z|=2$, otteniamo:
\[
z^2 =4\; ,
\]
cosicché il problema è ricondotto ad un estrazione di radice le cui soluzioni sono, come nel caso reale, $z=+-2$.

[pilloeffe]

"jarrod": Io ho fatto solo per $k=0 $. è sbagliato?

Più che sbagliato è incompleto: se $ \theta = k\pi $ occorre considerare $k = 0 $ e $k = 1 $ prima di avere soluzioni che si ripetono (da $k = 2 $ in poi). Per $p = 2 $ e $\theta = \pi $ si trova proprio la soluzione $ z = - 2 $ che ti manca all'appello...

[jarrod]

ah capito @pilloeffe. Io mi ero fermato a $k = 0$, perchè ho $\theta =(k\pi)/1$, quindi per la formula delle radici n-esime ho fatto per i casi da $k = 0$ a $k = n - 1$, quindi solo per $k = 0$