Numeri complessi
Ciao 
Mentre mi esercitavo per il compito di analisi ho trovato questo esercizio dalla consegna per me un pò strana, come si risolve?
Testo:
Nel piano di Gauss, le soluzioni dell'equazione $|z-1|^2 = z^2+2$
non ho proprio idea di come iniziare se non forse sostituire $z = a+ib$
Grazie in anticipo.
Mentre mi esercitavo per il compito di analisi ho trovato questo esercizio dalla consegna per me un pò strana, come si risolve?
Testo:
Nel piano di Gauss, le soluzioni dell'equazione $|z-1|^2 = z^2+2$
non ho proprio idea di come iniziare se non forse sostituire $z = a+ib$
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao
vediamo se ho capito...
bisogna mettere sul piano di gauss i punti che corrispondono ai numeri complessi che soddisfano quell'equazione?
vediamo se ho capito...
bisogna mettere sul piano di gauss i punti che corrispondono ai numeri complessi che soddisfano quell'equazione?
Ciao nic11,
Io sostituirei $z = x + iy $ per ritrovarmi con gli assi $x = Re(z) $ e $y = Im(z) $ del piano di Gauss, ma comunque la tua idea non mi pare malvagia...
"nic11":
non ho proprio idea di come iniziare se non forse sostituire $z=a+ib$
Io sostituirei $z = x + iy $ per ritrovarmi con gli assi $x = Re(z) $ e $y = Im(z) $ del piano di Gauss, ma comunque la tua idea non mi pare malvagia...
io l'ho fatto, quando hai fatto anche tu nic confrontiamo le soluzioni
Grazie per i suggerimenti, io continuerei l'esercizio in questo modo:
Considero i due casi $z-1>0$ e $z-1<0$
Caso $z-1>0$ l'equazione diventa:
$(z-1)^2 = z^2+2$
Sostituisco come mi avete suggerito $z= x+iy$ e sviluppo il binomio
$(x+iy)^2+1-2(x+iy) = (x+iy)^2+2$
Che diventa:
$-2(x+iy) =1$
divido a destra e sinistra per $-1/2$
diventa:
$x+iy=-1/2$
In modo analogo nel caso $z-1<0$
$(-z+1)^2 = z^2+2$
Arrivo allo stesso risultato
$x+iy=-1/2$
Ho sbagliato qualcosa ? Se fosse giusto ora come capisco se le soluzioni corrispondono a:
1) Una retta ed ad un punto esterno ad essa
2) a due punti distinti
3) a tre punti distinti
4) ad un punto
Io banalmente risponderei a un punto dato che la parte reale dovrebbe essere $-1/2$ e quella immaginaria $0$
Considero i due casi $z-1>0$ e $z-1<0$
Caso $z-1>0$ l'equazione diventa:
$(z-1)^2 = z^2+2$
Sostituisco come mi avete suggerito $z= x+iy$ e sviluppo il binomio
$(x+iy)^2+1-2(x+iy) = (x+iy)^2+2$
Che diventa:
$-2(x+iy) =1$
divido a destra e sinistra per $-1/2$
diventa:
$x+iy=-1/2$
In modo analogo nel caso $z-1<0$
$(-z+1)^2 = z^2+2$
Arrivo allo stesso risultato
$x+iy=-1/2$
Ho sbagliato qualcosa ? Se fosse giusto ora come capisco se le soluzioni corrispondono a:
1) Una retta ed ad un punto esterno ad essa
2) a due punti distinti
3) a tre punti distinti
4) ad un punto
Io banalmente risponderei a un punto dato che la parte reale dovrebbe essere $-1/2$ e quella immaginaria $0$
ciao
allora io ho fatto dei conti diversi
ho pensato che se il modulo di un numero complesso nella forma $x+iy$ è $sqrt(x^2+y^2)$ allora il quadrato del modulo è $x^2+y^2$
poi ho fatto i conti e mi sono venuti 3 risultati (tre punti distinti)
$z_1=-1/2$ un numero reale come a te, ma anche
$z_(2,3)=+- 1/(sqrt2)i$ due numeri immaginari
allora io ho fatto dei conti diversi
ho pensato che se il modulo di un numero complesso nella forma $x+iy$ è $sqrt(x^2+y^2)$ allora il quadrato del modulo è $x^2+y^2$
poi ho fatto i conti e mi sono venuti 3 risultati (tre punti distinti)
$z_1=-1/2$ un numero reale come a te, ma anche
$z_(2,3)=+- 1/(sqrt2)i$ due numeri immaginari
Buonasera a tutti.
Amarcord e voglia di mettermi alla prova; forse sono commosso dal saluto di pilloeffe nella sezione delle presentazioni.
Vediamo, da quell'equazione si può dedurre che $z^2+2$ deve essere un numero reale poiché posto uguale a un altro numero reale (il modulo).
Ma quindi anche $z^2$ è reale e perciò $z=x$ oppure $z=iy$, ovvero $z$ è puramente reale o puramente immaginario.
Caso 1.
$z=x$.
$|x-1|^2 = x^2+2$
cioè $x^2-2x+1=x^2+2$ ovvero $x=-1/2$ e dunque $z=-1/2$
Caso 2.
$z=iy$
$|iy-1|^2 = -y^2+2$
Da risolvere in modo simile: EDIT, ho cancellato quanto ho scritto perché avevo sbagliato. Guardare il post di pilloeffe (che saluto) sotto a questo.
Amarcord e voglia di mettermi alla prova; forse sono commosso dal saluto di pilloeffe nella sezione delle presentazioni.
"nic11":
$|z-1|^2 = z^2+2$
Vediamo, da quell'equazione si può dedurre che $z^2+2$ deve essere un numero reale poiché posto uguale a un altro numero reale (il modulo).
Ma quindi anche $z^2$ è reale e perciò $z=x$ oppure $z=iy$, ovvero $z$ è puramente reale o puramente immaginario.
Caso 1.
$z=x$.
$|x-1|^2 = x^2+2$
cioè $x^2-2x+1=x^2+2$ ovvero $x=-1/2$ e dunque $z=-1/2$
Caso 2.
$z=iy$
$|iy-1|^2 = -y^2+2$
Da risolvere in modo simile: EDIT, ho cancellato quanto ho scritto perché avevo sbagliato. Guardare il post di pilloeffe (che saluto) sotto a questo.
Ciao Zero87,
Il ragionamento è corretto così come il Caso 1; nel Caso 2 invece ti sei tradito col modulo perché si ha:
$ |iy-1|^2 = -y^2+2 \implies y^2 + 1 = - y^2 + 2 \implies 2y^2 = 1 \implies y_{2, 3} = \pm 1/(sqrt2) \implies z_(2,3) = \pm 1/(sqrt2)i $
conformemente a quanto già trovato da gio73.
Il ragionamento è corretto così come il Caso 1; nel Caso 2 invece ti sei tradito col modulo perché si ha:
$ |iy-1|^2 = -y^2+2 \implies y^2 + 1 = - y^2 + 2 \implies 2y^2 = 1 \implies y_{2, 3} = \pm 1/(sqrt2) \implies z_(2,3) = \pm 1/(sqrt2)i $
conformemente a quanto già trovato da gio73.
Grazie mille a tutti
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