Numeri complessi ?
z^4=(1+sqrt(3)i)³
Come risolvo questo numero complesso ?
Ho cominciato col calcolare il modulo ( 2 ) e l'angolo ( π/3 ). Ma poi come procedo ?
Come risolvo questo numero complesso ?
Ho cominciato col calcolare il modulo ( 2 ) e l'angolo ( π/3 ). Ma poi come procedo ?
Risposte
$z=(1+i sqrt{3})^{3/4}$ e risolvi con la forma esponenziale del numero complesso...
Ma è possibile risolverla scrivendola con la forma polare ?
Beh, passare dalla forma esponenziale alla forma polare è immediato...
Si lo so. Però non mi esce. Ad esempio la prima radice mi esce cos(4/9)π+isen(4/9)π, che non corrisponde a nessun angolo noto.
Ciao simonerusso64,
Seguendo il consiglio di mic999 si ha:
$z = \rho e^{i\theta} \implies z^4 = \rho^4 e^{i4\theta} $
$1 + i sqrt{3} = 2e^{i frac{\pi}{3}} \implies (1 + i sqrt{3})^3 = 8 e^{i\pi} $
Quindi si ha:
$\rho^4 e^{i4\theta} = 8 e^{i\pi} $
Da cui $\rho = 2^{3/4} $, $4\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = \pi/4 + k frac{\pi}{2} $, $ k = 0, 1, 2, 3 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Seguendo il consiglio di mic999 si ha:
$z = \rho e^{i\theta} \implies z^4 = \rho^4 e^{i4\theta} $
$1 + i sqrt{3} = 2e^{i frac{\pi}{3}} \implies (1 + i sqrt{3})^3 = 8 e^{i\pi} $
Quindi si ha:
$\rho^4 e^{i4\theta} = 8 e^{i\pi} $
Da cui $\rho = 2^{3/4} $, $4\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = \pi/4 + k frac{\pi}{2} $, $ k = 0, 1, 2, 3 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Ok, ma perchè se la risolvo con la forma polare non mi esce ?
Tu cosa intendi per forma polare?
Perché per me un numero complesso può avere 3 forme:
1) forma algebrica, $z = x + iy $;
2) forma trigonometrica $z = \rho(cos\theta + i sin\theta) $;
3) forma polare o forma esponenziale (li uso come sinonimi) $z = \rho e^{i\theta} $
Perché per me un numero complesso può avere 3 forme:
1) forma algebrica, $z = x + iy $;
2) forma trigonometrica $z = \rho(cos\theta + i sin\theta) $;
3) forma polare o forma esponenziale (li uso come sinonimi) $z = \rho e^{i\theta} $
forma trigonometrica
Funziona uguale:
$z^4 = \rho^4 e^{i4\theta} = \rho^4 [cos(4\theta) + i sin(4\theta)] $
$(1 + i sqrt{3})^3 = 8 e^{i\pi} = 8 [cos(\pi) + i sin(\pi)] $
Dunque si ha:
$ \rho^4 [cos(4\theta) + i sin(4\theta)] = 8 [cos(\pi) + i sin(\pi)] $
A questo punto puoi concludere facilmente trovando le stesse $4$ soluzioni già trovate precedentemente.
$z^4 = \rho^4 e^{i4\theta} = \rho^4 [cos(4\theta) + i sin(4\theta)] $
$(1 + i sqrt{3})^3 = 8 e^{i\pi} = 8 [cos(\pi) + i sin(\pi)] $
Dunque si ha:
$ \rho^4 [cos(4\theta) + i sin(4\theta)] = 8 [cos(\pi) + i sin(\pi)] $
A questo punto puoi concludere facilmente trovando le stesse $4$ soluzioni già trovate precedentemente.
Ma io continuo a non capire. Io ho trovato che l'angolo è π/3, perché sen=sqrt(3)/2 e il cos=1/2 ed inoltre a me il modulo risulta 2, perchè (1+sqrt(3))^2 sotto radice mi dà sqrt(4) = 2.
Ricapitoliamo ...
Se poniamo $w=1+isqrt(3)$ mi pare che siamo d'accordo sul fatto che il modulo di $w$ è $2$ e il suo argomento è $pi/3$; ok?
Quindi il modulo di $w^3$ ovvero $z^4$ sarà $8$ e il relativo argomento sarà $pi$.
Da ciò discende che il modulo di $z$ sarà la radice quarta di $8$ e l'argomento (o meglio gli argomenti) saranno $1/4pi, 3/4pi, 5/4pi, 7/4pi$ con la relativa peridodicità.
Ok?
Se poniamo $w=1+isqrt(3)$ mi pare che siamo d'accordo sul fatto che il modulo di $w$ è $2$ e il suo argomento è $pi/3$; ok?
Quindi il modulo di $w^3$ ovvero $z^4$ sarà $8$ e il relativo argomento sarà $pi$.
Da ciò discende che il modulo di $z$ sarà la radice quarta di $8$ e l'argomento (o meglio gli argomenti) saranno $1/4pi, 3/4pi, 5/4pi, 7/4pi$ con la relativa peridodicità.
Ok?
Scusami, sarà anche una cosa facile, ma non capisco come l'argomento diventa π
Eh, beh, allora è dura ... 
... come si calcolanno le potenze di un numero complesso, per esempio $z^n$?
Semplicemente elevando il modulo di $z$ alla $n$ e moltiplicando l'argomento di $z$ per $n$ (e tenendo conto della periodicità)
... come si calcolanno le potenze di un numero complesso, per esempio $z^n$?Semplicemente elevando il modulo di $z$ alla $n$ e moltiplicando l'argomento di $z$ per $n$ (e tenendo conto della periodicità)
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