Numeri complessi
Calcolare la parte reale ed immaginaria di:
$ z=((1+i)^10)/((1-i)^8) $
In allegato aggiungo la mia soluzione. E' giusta?
$ z=((1+i)^10)/((1-i)^8) $
In allegato aggiungo la mia soluzione. E' giusta?
Risposte
Io farei così:
\[ \begin{align*} z &= \frac{ (1 + i)^{10}}{ (1-i)^8} \\ &= \frac{1}{2^8} (1 + i)^{18} \\ &= \overbrace{\frac{1}{2^8} {\sqrt{2}}^{18} }^{ = 2} \underbrace {\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{18}}_{= \left (\cos \left ( \frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left ( \frac{\pi}{4}\right) \right)^{18}} \\ &= 2 \exp \left ({i \frac{\pi}{4} \cdot 18} \right) \\ &= 2 \exp \left ({ i \frac{\pi}{2} + 4 \pi} \right) \\ &= 2 \exp \left (i \frac{\pi}{2} \right) \\ &= 2 i \end{align*} \]
ed il risultato è lo stesso che hai ottenuto tu
\[ \begin{align*} z &= \frac{ (1 + i)^{10}}{ (1-i)^8} \\ &= \frac{1}{2^8} (1 + i)^{18} \\ &= \overbrace{\frac{1}{2^8} {\sqrt{2}}^{18} }^{ = 2} \underbrace {\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{18}}_{= \left (\cos \left ( \frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left ( \frac{\pi}{4}\right) \right)^{18}} \\ &= 2 \exp \left ({i \frac{\pi}{4} \cdot 18} \right) \\ &= 2 \exp \left ({ i \frac{\pi}{2} + 4 \pi} \right) \\ &= 2 \exp \left (i \frac{\pi}{2} \right) \\ &= 2 i \end{align*} \]
ed il risultato è lo stesso che hai ottenuto tu
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