Numeri complessi

[daenerys1]

Salve, mi potreste aiutare a risolvere questo esercizio sui numeri complessi?

Rappresentare sul piano cartesiano
A $ = { z in C: |1+z|^4 >= 1 + 4 Re(z)} $∩${z in C: z^4 +|z|^4 = 0}$

Ho provato a sostituire z = a + ib ma non riesco a risolvere nulla dopo aver svolto i calcoli..

[spugna2]

Parti dalla seconda condizione: $z=|z|e^(i theta)$, e sostituendo in $z^4+|z|^4=0$ si trova $z=0$ oppure $e^(4i theta)=-1$, che equivale a $Re(z)=+-Im(z)$, quindi puoi riscrivere la disequazione esprimendo tutto in funzione di $Re(z)$ (se non ho fatto errori stupidi viene una disuguaglianza sempre vera).

[daenerys1]

Allora, fino al fatto che ha soluzioni per z =0 e per $e^(4 i theta) $ ci sono, non capisco poi perché coincidono con Re (z) = $+-$ Im (z)

Comunque, poi ho sostituito e dovrei risolvermi questa quindi?

$|1 + Re(z) + i Re(z) |^4 >= 1 + 4 Re(z) $?

[pilloeffe]

Ciao daenerys,

La seconda equazione è soddisfatta da tutti i numeri complessi che appartengono alle bisettrici dei $4$ quadranti $y = \pm x $ La prima disequazione invece come dice spugna è sempre verificata, infatti ponendo $z = x + iy $ si ha:

$|(x + 1) + iy|^4 \ge 1 + 4x \implies [sqrt{(x + 1)^2 + y^2}]^4 \ge 1 + 4x \implies [(x + 1)^2 + y^2]^2 \ge 1 + 4x \implies $
$\implies (x^2 + 2x + y^2 + 1)^2 \ge 1 + 4x \implies (x^2 + 2x + y^2 + 1)(x^2 + 2x + y^2 + 1) \ge 1 + 4x \implies $
$\implies x^4 + 4x^3 + 2 x^2 y^2 + 6x^2 + 4x y^2 + 4x + y^4 + 2y^2 + 1 \ge 1 + 4x \implies $
$\implies x^4 + 4x^3 + 2 x^2 y^2 + 6x^2 + 4x y^2 + y^4 + 2y^2 \ge 0 \implies $
$\implies x^2(x^2 + 4x + 6) + 2y^2(x + 1)^2 + y^4 \ge 0 $

e l'ultimo polinomio scritto è sempre positivo o nullo (per $x = 0 $ e $ y = 0 $).