Numeri Complessi

[beggio.susanna]

Buonasera, non riesco a risolvere un esercizio con i numeri complessi.
Dovrei trovare $ A $ intersecato a $ f ^(-1)(3i+2) $ dove ho:

$ A: |(z-1)|^2=1 $ e $ f(z)=z^3 +i $

Qualcuno può aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

Riesci a vedere chi è $f^{-1}$?

[pilloeffe]

Ciao Ramona97,

$A$: $|z - 1|^2 = 1 \implies (x - 1)^2 + y^2 = 1 $

che rappresenta una circonferenza di centro $C(1,0) $ e raggio $1$. Per $y = 0 $ si ottengono le due soluzioni reali $x = 0 $ e $x = 2 $.

Trovare $f^{-1}(3i + 2)$ è equivalente a risolvere l'equazione $f(z) = 3i + 2 \implies z^3 + i = 3i + 2 \implies z^3 = 2(1 + i) \implies z^3 = 2 sqrt{2} e^{i pi/4} \implies z_k = sqrt{2} e^{i (pi/12 + frac{2k\pi}{3})} $

ove $k = 0, 1, 2 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Per $k = 0 $ si ha:

$z_0 = sqrt{2} e^{i pi/12} = sqrt{2} [cos(pi/12) + i sin(pi/12)] = frac{sqrt{3} + 1}{2} + i frac{sqrt{3} - 1}{2}$

Per $k = 1 $ si ha:
$z_1 = sqrt{2} e^{i frac{3\pi}{4}} = sqrt{2} [cos(frac{3\pi}{4}) + i sin(frac{3\pi}{4})] = - 1 + i $

Per $k = 2 $ si ha:

$z_2 = sqrt{2} e^{i frac{17\pi}{12}} = sqrt{2} [cos(frac{17\pi}{12}) + i sin(frac{17\pi}{12})] = - frac{sqrt{3} - 1}{2} - i frac{sqrt{3} + 1}{2} $

Quindi, salvo sempre possibili errori di calcolo, soluzioni in comune non ne vedo...

[Sk_Anonymous]

"pilloeffe":Ciao Ramona97,

$A$: $|z - 1|^2 = 1 \implies (x - 1)^2 + y^2 = 1 $

che rappresenta una circonferenza di centro $C(1,0) $ e raggio $1$. Per $y = 0 $ si ottengono le due soluzioni reali $x = 0 $ e $x = 2 $.

Trovare $f^{-1}(3i + 2)$ è equivalente a risolvere l'equazione $f(z) = 3i + 2 \implies z^3 + i = 3i + 2 \implies z^3 = 2(1 + i) \implies z^3 = 2 sqrt{2} e^{i pi/4} \implies z_k = sqrt{2} e^{i (pi/12 + frac{2k\pi}{3})} $

ove $k = 0, 1, 2 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Per $k = 0 $ si ha:

$z_0 = sqrt{2} e^{i pi/12} = sqrt{2} [cos(pi/12) + i sin(pi/12)] = frac{sqrt{3} + 1}{2} + i frac{sqrt{3} - 1}{2}$

Per $k = 1 $ si ha:
$z_1 = sqrt{2} e^{i frac{3\pi}{4}} = sqrt{2} [cos(frac{3\pi}{4}) + i sin(frac{3\pi}{4})] = - 1 + i $

Per $k = 2 $ si ha:

$z_2 = sqrt{2} e^{i frac{17\pi}{12}} = sqrt{2} [cos(frac{17\pi}{12}) + i sin(frac{17\pi}{12})] = - frac{sqrt{3} - 1}{2} - i frac{sqrt{3} + 1}{2} $

Quindi, salvo sempre possibili errori di calcolo, soluzioni in comune non ne vedo...

Perché una soluzione integrale?

[beggio.susanna]

"pilloeffe":Ciao Ramona97,

$A$: $|z - 1|^2 = 1 \implies (x - 1)^2 + y^2 = 1 $

che rappresenta una circonferenza di centro $C(1,0) $ e raggio $1$. Per $y = 0 $ si ottengono le due soluzioni reali $x = 0 $ e $x = 2 $.

Trovare $f^{-1}(3i + 2)$ è equivalente a risolvere l'equazione $f(z) = 3i + 2 \implies z^3 + i = 3i + 2 \implies z^3 = 2(1 + i) \implies z^3 = 2 sqrt{2} e^{i pi/4} \implies z_k = sqrt{2} e^{i (pi/12 + frac{2k\pi}{3})} $

ove $k = 0, 1, 2 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Per $k = 0 $ si ha:

$z_0 = sqrt{2} e^{i pi/12} = sqrt{2} [cos(pi/12) + i sin(pi/12)] = frac{sqrt{3} + 1}{2} + i frac{sqrt{3} - 1}{2}$

Per $k = 1 $ si ha:
$z_1 = sqrt{2} e^{i frac{3\pi}{4}} = sqrt{2} [cos(frac{3\pi}{4}) + i sin(frac{3\pi}{4})] = - 1 + i $

Per $k = 2 $ si ha:

$z_2 = sqrt{2} e^{i frac{17\pi}{12}} = sqrt{2} [cos(frac{17\pi}{12}) + i sin(frac{17\pi}{12})] = - frac{sqrt{3} - 1}{2} - i frac{sqrt{3} + 1}{2} $

Quindi, salvo sempre possibili errori di calcolo, soluzioni in comune non ne vedo...

ma invece di eguagliare $ z^3 + i $ a $ 3i + 2 $ non bisogna fare $ z^3 = 3i+2-i $ ?

[beggio.susanna]

"Delirium":Riesci a vedere chi è $f^{-1}$?

penso sia rad terza di z-i